第六章定积分的应用作业习题

第六章定积分的应用作业习题1、求抛物线223xxy与Ox轴所围成图形的面积。2、求抛物线xy2与42xy所围成图形的面积。3、求圆222ryx的面积、圆周长。4、求星形线,sin,cos33taytax)20(t围成图形的面积，全周长，绕x轴旋转体体积。5、求三叶玫瑰线3sinar的面积。6、求双纽线2cos22ar的面积。7、求心脏线)cos1(ar绕极轴旋转所成旋转体体积。8、求摆线),cos1(),sin(tayttax)20(t与x轴围成图形的面积，弧长，绕x轴旋转体体积。9、求悬链线)(,)(2axaxacheeayaxax下的曲边梯形的面积，弧长，绕x轴旋转体体积。10、抛物线)0(,22axpxy绕x轴旋转所得旋转抛物面的体积。11、证明曲线xysin的一个周期的弧长等于椭圆2222yx的周长。12、求椭球体1222222czbyax的体积。13、设有一半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为R2的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。设圆柱体的比重为)1(，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？14、一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。15、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内cm1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少cm？作业习题参考答案：1、解：),1)(3(232xxxxy令0y得13orx。故抛物线与Ox轴交点为)0,3(及)0,1(，所求图形为Ox轴上半部分。332)23()(13213dxxxdxxfS。2、解：两条抛物线交点为)2,2(),2,2(。则2316)24(2])4[(2022222dyydyyyS。3、解：由对称性，只需考虑第一象限，dxxrSr0221422cos1coscossin220220rdttrtdtrtrtrx；故圆面积为2rS。由圆的参数方程,sin,costrytrx，求周长只需考虑第一象限，2cossin202022221rdtrdttrtrl；圆周长rll241。4、解：由对称性只需考虑第一象限，2620420223083)sin(sin12)sin(cos3sin44adtttadtttataydxSa；atdttadttytxl6sincos34)]([)]([4202022；;10532)sin1(sin6)sin(cos3sin223220732602202adtttadtttatadxyVa5、解：三叶玫瑰线一瓣对应角从0到3，故23022302302426cos1233sin23)(213adadadrS。6、解：22402402042sin2cos2)(214aadadrS。7、解：sin)cos1(sincos)cos1(cosaryarx)cos)cos1((sin)cos1(2202adaVda3023sin)cos21()cos1(32112338)1)(21()1(cosadttttat。8、解：3202220203)cos1()cos1()cos1()()(adttadttatadttxtyS；adttadttatadttytxl82sin2sin)cos1()]([)]([202022222022；32203322022025)cos1())sin(()cos1()()(adttattadtatdxtyV9、解：12)(2shadxaxachdxxySaaaa；12)(1)]([122ashdxaxchdxaxshdxxylaaaaaa；)2211()()(3222shadxaxchadxxyVaaaa。10、解：20022papxdxdxyVaa。11、证：曲线xysin的一个周期的弧长为dxxdxyL2022021cos11；对于椭圆2222yx，由于其参数方程为tytxsin2cos故202220222)cos2()sin()]([)]([dtttdttytxLdxxdtt202202cos1cos1；可见21LL。12、解：用垂直于x轴的平面截椭球，交x轴于],[aax，所得截面为椭圆,1222222axczby即,1)1()1(22222222axczaxby于是此椭圆的面积为)()(222xaabcxS，从而椭球体的体积为abcdxxaabcVaa34)(222。13、解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高R2，所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到yR高度提升力所做的功之和；水下部分提升力xldyF2)1(1，所以,)(2)1(1dyyRxldw水上部分提升力xldyF21，,)(22dyyRxldw故dyyRyRldwdwdw])12[(22221，因此322)12(])12[(2RldyyRyRlwRR。14、解：如图所示，取水平面上的底为x轴，则AB直线的方程为,22,12yabbxaybx所以dyyaabxdyds)(2)0,2(bBxdyyaabyydsdp)(，故此三角形板每面所受压力为badyyayabpa22061)(。y15、解：设击入深度为xcm，则kxF，击第一次时所做的功为xxyR-yyoR+yocdyA(0,a)210101kkxdxFdxw，设在第二次锤击时，铁钉击入木板内总深度H，则第二次锤击所做的功为)1(2212HkkxdxwH，由于),1(22221Hkkww所以,2H第二次击入的深度为cm)12(。讨论习题：1、设)(xf有连续导数，,)()1()(,0)0(,0)0(02dttftxFffx且当0x时，)(xF与kx是同阶无穷小，求k。2、设)(xf连续，10)()(dtxtfx且Axxfx)(lim0（常数），讨论)(x在0x处的连续性。3、确定常数cba,,的值，使)0()1ln(sin030limccdtttxaxxx。讨论习题参考答案：1、3k；2、)(x在0x处连续；3、21,0,1cba。思考题：1、抛物线xy22分圆822yx成两部分，求两部分的面积。2、曲线)()(222baabyx绕x轴旋转而成的圆环面的体积。思考题参考答案：1、)323(2),32(221SS。2、abV222。