电磁场与电磁波(矢量分析2015).

电磁场与电磁波ElectromagneticFieldsandWaves刘军民信息与通信工程学院通信技术研究所办公室：创新园大厦（大黑楼）B-410TEL：[phone]Email：[e-mail]2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民2/62第1章矢量分析1.1标量场与矢量场1.2标量场的方向导数与梯度1.3矢量场的通量与散度1.4矢量场的环量与旋度1.5场的重要性质与定理1.6圆柱和球坐标系2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民3/621.1标量场与矢量场一、“场”的基本概念场紧张、害怕课程难学无时无刻不在与“场”打交道，每时每刻都处于“场”中。2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民4/62“场”是遍及一个界定的或者无限扩展空间内的存在着的某种必须予以重视和研究的效应。1、“场”的物理描述热效应——温度场电效应——电场磁效应——磁场引力效应——重力场每天面对1.1标量场与矢量场若该效应与时间无关，则该场称为静态场；若该效应与时间有关，则该场称为动态场或时变场。“场”空间内效应2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民5/62“场”是给定区域内各点数值的集合，由此规定了该区域内某一特定量的特征。2、“场”的数学描述数学函数热效应——T(x，y，z，t）电效应——E(x，y，z，t）磁效应——H(x，y，z，t）引力效应——F(x，y，z，t）1.1标量场与矢量场对场的研究就像研究其它数学问题一样，只是函数形式及其求解的难易而已。“场”数值的集合特征2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民6/62数学是使人类思维走向更高维度的桥梁；数学是描述宇宙万物的最简洁的语言；简洁的语言是深奥的理论的源泉；本课程内容只涉及到四维（三维空间＋时间）1.1标量场与矢量场2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民7/62举例1.1标量场与矢量场几何图形圆太阳的简图＋Q电荷的电场由左到右，问题越来越复杂，越来越抽象，感觉越来越怕，但是它们都是“场”。2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民8/621.1标量场与矢量场二、标量与矢量1、标量：只有大小特征的量。数学上：实数域中的任何一个数就是一个标量。物理学：温度（T），密度（d），时间（t）体积（V）、电压（u）等；人类对数的认识经过了从简单到复杂，从一维到多维的过程。2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民9/621.1标量场与矢量场2、矢量：既有大小，又有方向特征的量。数学上：由多个实数组成的多维向量就是矢量。物理学：电场（），磁场（），速度（）等。EHv位置（）——矢量r重力（）——矢量FP温度（）——标量To坐标原点2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民10/621.1标量场与矢量场3、矢量的表示方法数学表示：(,)(,)(,)(,)(,)xxyyzzAArtaArtaArtaArtaArt222|(,)|(,)(,)(,)(,)xyzArtArtArtArtArtcoscoscosyxzAxyzxyzAAAAaaaaAAAAaaa直角坐标系中矢量函数的数学表达：矢量的模：单位矢量：2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民11/621.1标量场与矢量场几何表示：xyzO(,)ArtxAyAzAAap’（源点）OR'rrp（场点）——源点位置矢量——场点位置矢量'rr'rrR2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民12/621.1标量场与矢量场三、矢量运算矢量的加法运算遵从平行四边形法则。1、矢量的加减运算OBACOBACBACzzyyxxzzyyxxaBaBaBBaAaAaAAzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民13/621.1标量场与矢量场矢量的减法运算也遵从平行四边形法则，但是)(BABACzzzyyyxxxaBAaBAaBAC)()()(OBACBBACOBACOACB首相接首尾相接2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民14/621.1标量场与矢量场矢量的加减为线性运算，所以满足交换律和结合率。0GFEDCBAOBACDEFG2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民15/621.1标量场与矢量场矢量点乘的结果为标量。2、矢量的标量积——点乘（点积）)cos()cos(cosABBAABBAOBAcosBcosAFl)cos(FllFW2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民16/621.1标量场与矢量场点乘的性质CABACBAABBA)(交换律分配律0BA若与垂直（正交），则，所以AB111000zzyyxxxzzyyxaaaaaaaaaaaazzyyxxzzyyxxzzyyxxBABABAaBaBaBaAaAaABA)()(2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民17/621.1标量场与矢量场矢量叉乘的结果仍是矢量，方向满足右手螺旋关系。3、矢量的矢量积——叉乘（叉积）CaABBACsin结果为有两个矢量构成的平行四边形的面积。zxyyxyzxxzxyzzyzyxzyxzyxaBABAaBABAaBABABBBAAAaaaBA)()()(OBAsinAC2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民18/621.1标量场与矢量场叉乘的性质)()()()()()()(BACCABCBABACACBCBACABACBAABBA反交换律分配律0BA若与相平行，则，所以AB000111zzyyxxxzzyyxaaaaaaaaaaaa2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民19/621.1标量场与矢量场四、标量场与矢量场1、标量场：标量描述的物理量的空间全国温度分布图等高线示意图2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民20/621.1标量场与矢量场实际等高线地图2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民21/621.1标量场与矢量场2、矢量场：矢量描述的物理量的空间多点电荷电场电力线棒槌型带电体电场电力线2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民22/621.1标量场与矢量场不同形状电流线的磁力线2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民23/621.1标量场与矢量场A流体的流速矢量图0dzdydxAAAaaaldAzyxzyxldxyzdxdydzAAA矢量场的场线方程A2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民24/62标量场比较简单，但是如果想要知道标量场的变化情况，或者变化率，就要用到标量的方向导数和梯度。1.2标量场的方向导数与梯度一、方向导数定义：标量场（或称标量函数）过某点沿某一方向的变化率。)(MlllMMlllM000lim)()(lim02019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民25/621.2标量场的方向导数与梯度lzyxzyxzyxlMaazayaxaaaazayaxzyxdldzzdyydxxllcoscoscoscoscoscos1lim00式中为l方向单位矢量coscoscoszyxlaaaa2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民26/621.2标量场的方向导数与梯度由方向导数的定义，zyx、、当时，标量场沿方向增大。0l)(Mla当时，标量场沿方向减小。0l)(Mla为标量场沿三个坐标轴的方向导数)(M2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民27/621.2标量场的方向导数与梯度212121101122222zyzyxxx举例：求在M（1,0,1）点处沿的方向导数。222zyxzyxaaal22解：在M点32cos32cos312211cos222llx21coscoscoszyxlM2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民28/62显然，标量场过一个点的方向导数有无穷多个，这为表达方向导数带来了困难，如何解决这一问题，引出了标量场梯度。1.2标量场的方向导数与梯度二、标量场的梯度（gradient）定义：标量场在某点处的最大方向导数。0Milmaxl梯度是矢量，是标量场与矢量场之间的一种变换，其定义与坐标系无关。2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民29/621.2标量场的方向导数与梯度llzyxlzyxaaazayaxaazayaxl式中1cosmaxcoslzyxazayax哈密顿算子梯度单位矢量2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民30/621.2标量场的方向导数与梯度梯度的性质：某点处的方向导数等于该点的梯度在该方向上的投影。梯度与标量场的等值面相垂直。标量场沿梯度方向变化最快。0cos90ol无增量表明为等值面表明梯度与等值面相垂直，这时的梯度方向恰好就是等值面的法线方向，因此一般地：o90nan过M点的等值面MllnanM点的切平面2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民31/621.2标量场的方向导数与梯度zyxlzxzyxaaallaaaazayax3232312121举例——利用梯度求前例求在M（1,0,1）点处沿的方向导数。222zyxzyxaaal22解：在M点212322313232312121zyxzxlMaaaaaal2019/12/20信息与通信工程学院通信技术研究所——刘军民32/62方向导数和梯度对于研究标量场是非常有用的，由于矢量具有大小和方向特性，需要从两个方面加以研究。1.3矢量场的通量与散度一、矢量的通量定义：矢量通过一个曲面的多少。AnS//AnAdsc对开曲面，正方向与其边界绕向成右手螺旋关系。对闭曲面，正方向从面内指向面外。sdAdsnAdsAdn