电磁场理论练习题

第一章矢量分析1.13ˆ2ˆˆzyxeeeA，zyeeBˆ4ˆ，2ˆ5ˆyxeeC求（1）ˆAe；（2）矢量A的方向余弦；（3）BA；（4）BA；（5）验证BACACBCBA；（6）验证BACCABCBA。1.2如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。设A为已知矢量，XAB和XAB已知，求X。1.3求标量场32yzxyu在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量zyxeeelˆ2ˆ2ˆ方向上的方向导数。1.4计算矢量3222224ˆˆˆzyxexyexeAzyx对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A对此立方体的体积分，以验证散度定理。1.5计算矢量zyexexeAzyx22ˆˆˆ沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。1.6f为任意一个标量函数，求f。1.7A为任意一个矢量函数，求A。1.8证明：AfAfAf)(。1.9证明：AfAfAf)()()(。1.10证明：)()()(BAABBA。1.11证明：AAA2)(。1.12sincosˆ),,(32zeezA，试求A，A及A2。1.13cos1ˆsin1ˆsinˆ),,(2rerererAr，试求A，A及A2。1.14sin),,(zzf，试求f及f2。1.152sin),,(rrf，试求f及f2。1.16求SrSed)sin3ˆ(，S为球心位于原点，半径为5的球面。1.17矢量23cos1ˆ),,(rerAr，21r，求VVAd。【专题】麦克斯韦方程1在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。2试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即(E)0。3试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程tJ。4参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为1和2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是1和2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度S0，试证明：2121tantan上式称为电场E的折射定律。5参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为1和2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS0，把题图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：2121tantan上式称为磁场B的折射定律。若1为铁磁媒质，2为非铁磁媒质，即12，当190时，试问2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。6已知电场强度矢量的表达式为Eisin(tz)j2cos(tz)通过微分形式的法拉第电磁感应定律tBE，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分常数)。7一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数为。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)I0sin(t)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。8在空气中，交变电场EjAsin(tz)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。4题图第2-3章静电场和恒定电场2-1参看图2-1，无限大导板上方点P(0,0h)处有一点电荷q。试求：z0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度S和总电荷量q。图2-1导体平面上方的点电荷及其镜像2-2如果将4块导板的电位分别改为：上板120V，左板40V，下板30V，右板90V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)列出联立方程；(2)用塞德尔迭代法求解；(3)计算最佳加速因子；(4)用超松弛迭代法求解；(5)比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n4。2-3如果平板电容其中电荷分布的线密度为0(14x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数。选择基函数为fn(x)x(1xn)n1,2,3,…2-4如果在该问题中选择权函数为xkRxwkRxw6)(2)(2211和上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数。2-5通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：(1)()0；(2)(A)02-6同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为，电导率为。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab，求内外导体之间的漏电流密度J。2-7求1/4垫圈两个弯曲面a和b之间的电阻。2-8参见2-8题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为102S/m。设有I500A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b0.6m，且人能经受的跨步电压为U200V，问这一安全半径a应为多大？2-9参看图2-9，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为，电导率为。计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。图2-9平行双线的等效线电荷2-10半径分别为a和b的两个同心球壳(ab)之间是电导率为0(1+k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位是否满足拉普拉斯方程。第4章恒定磁场3-1通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：(A)(A)－2A2-8题图第5章时变电磁场5-1通过直角坐标系验证矢量恒等式：(EH)H(E)E(H)5-2根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。注意，在取实部之前应加上时间因子ejt。.2e)2j(32e)j(22e)2(1jm00000j0000000j0，，；，，；，，xzykzyxkzyxEEEckEHHckEEEkjkjEjijiHjijiE)()()(5-3将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。2)2cos(sin242)cos()cos(23)sin()cos(2)cos()cos(1.0000000000000000，，；，，；，，；，，kkrtrILEtzEHxtExtEEEkkytEkytEHHyzyxzeeEjjHkjkjEikikH)()()()(5-4自由空间电流元的远区辐射场为krkrrlIHrlIEjjesin2jesin60jeeHeeE，试求：(1)写出波印亭矢量的瞬时值S；(2)写出复数波印亭矢量SC；(3)总的平均辐射功率P。5-5在微波环境中，如果平均功率密度|Sav|10mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表示的相应标准。已知E0H，0120。5-6设自由空间一天线辐射的电场强度矢量为EiAsin(tkz)上式中00k，是电磁波的相位常数，已知波阻抗000。试求：(1)将电场强度矢量E改写成复数形式；(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；(3)瞬时波印亭矢量S；(4)复数波印亭矢量SC。5-7空中交变电磁场的电场强度矢量只有x分量ExAcos(tkz)Bsin(tkz)试求：(1)由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；(2)瞬时波印亭矢量S；(3)复数波印亭矢量SC。5-8将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。注意，在取实部之前应加上时间因子ejt。(1)EiE0ejejkz；(2)EiE0cos(tkz)j2E0cos(tkz)；(3))(j4j0eezkxkzxEjE5-9已知磁导率为，介电常数为的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为E(ijj)Aej(tz)上式中，，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。试求：(1)瞬时波印亭矢量S，复数波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)电场能量密度we和磁场能量密度wm。第6章平面电磁波6-1一频率为f100MHz的均匀平面电磁波在简单媒质(r1，r4，0)中沿z方向传播，电场强度矢量为EiEx(z,t)，电场的振幅值为E0104V/m。当t0，z0.125m时，电场的瞬时值达到振幅值E0。试写出电场强度矢量E和磁场强度矢量H的瞬时表达式。6-2已知自由空间中电磁波的振幅为A，极化方向为j，圆频率为，传播方向为(z)，试写出该电磁波的电场强度矢量E和磁场强度矢量H。6-3试证明在色散媒质中相速vp和群速vg之间满足下面关系：dd2dd1ppgppgvvvvvv)()(：上两式中，和分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。6-4已知某色散媒质的色散关系为mkv0p，其中0是该波在真空中的波长，k，m是正实数，求群速vg。6-5已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为)(j0e)j(zktAjiE试求其相伴的磁场强度矢量H，并指出电磁波的极化方式。6-6试判断Ex2cos(tz)，Ey3cos(tz90)是什么极化波，并写出Ex和Ey分量所满足的轨迹方程式。6-7试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。(1)ExBsin(tz)，EyAcos(tz90)(2)EyAcos(tx)，EzAcos(tx90)(3)EzBcos(ty270)，ExAcos(ty)(4)EyAej(tkx)，EzAej(tkx90)(5))(j0)(j0ej,ekztykztxAHAH6-8试证明：(1)一个椭圆极化波可以分解为左旋和右旋的两个圆极化波；(2)一个圆极化波可以由旋向相反的两个椭圆极化波叠加而成。6-9已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为E(i2j2kj)ej(xy)试说明该波的极化状态，并计算它的波长。6-10z0平面是无限大分界面，z0一侧为真空，z0一侧为相对磁导率和相对介电常数分别为r1和r2.25的理想介质。圆频率为的线极化均匀平