第六节微分法在几何上的应用

第六节微分法在几何上的应用一、空间的曲线的切线二、曲面的切平面与法线1.设空间Γ曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxx,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt求曲线x=t,y=t2,z=t3在M0(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：23,2,1tztyxttt点M0对应t=1,故T={1,2,3}切线方程为312111zyx法平面方程0632zyx例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即例22.空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为特殊地：3.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz例3由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz1.设曲面Σ方程为0),,(zyxF)},(),(),({000tttT曲线在M0处的切向量在曲面上任取一条通过点M0的曲线,)()()(:tztytxnTM二、曲面的切平面与法线M0(x0,y0,z0)为Σ上已知一点,.0),,(:上一条曲线曲面zyxF是)()()(:tztytx.0))(),(),((tttF则.0))(),(),((tttFdtd从而.0)()()(tFtFtFzyx.0)()()()()()(000000tMFtMFtMFzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令则,Tn由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx,),(),,(zyxfzyxF令2.空间曲面方程形为))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx),(00yxffyy其中若α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角γ是锐角，则法向量的方向余弦为曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx例4求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx例5求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx例6因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）小结思考题如果平面01633zyx与椭球面163222zyx相切，求.思考题解答},2,2,6{000zyxn设切点),,,(000zyx依题意知切向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2