三角函数的积化和差与和差化积

高二数学导学案高二数学备课组1三角函数的积化和差与和差化积一、教学目的：1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。2.掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。二、重点、难点：掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。三、新课讲解：（一）三角函数的积化和差与和差化积公式1、公式的推导)(sincoscossinsinS，sinsincoscossin()，Scoscoscossinsin()，Ccoscoscossinsin()，CSSSS，CCCC，，得sinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsin2222即sincossinsin121cossinsinsin122coscoscoscos123sinsincoscos124公式1234叫做积化和差公式。其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用高二数学导学案高二数学备课组2起来方便，在积化和差的公式中，如果令，，则22，。把这些值代入积化和差的公式1中，就有sincossinsinsinsinsinsinsincos22122222122225·∴·同样可得，sinsincossincoscoscoscoscoscossinsin222622272228···公式5678叫做和差化积公式。其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θ与，等式右边为2与2的形式。牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。3、典例分析例1.把下列各式化为和差的形式。（1）sincos12512·（2）23555cossinoo·（3）coscosxyxy·分析：利用积化和差公式。高二数学导学案高二数学备课组3点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。（2）如求sinsin838·的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求值，即sinsinsincossin8388812424··例2.把下列各式化成积的形式。（1）cosx12（2）sincosxx分析：只要将以上两题稍作变形，如将（1）中12换成cos3，（2）中cosx看作sin90ox即可直接应用公式进行化积。点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中12化为cos3，（2）中cosx化为sin90ox。（2）对于型如axbxsincos，可化为abx22sin也能达到和差化积的形式之目的。高二数学导学案高二数学备课组4例3.求值：（1）sincossincossinsin71587158oooooo··（2）sincossincos22208032080oooo分析：（1）中注意7°与15°和8°的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法1属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如coscoscos204080ooo的求值题，试一下是不是很巧妙？