第十一章(理)第一节离散型随机变量的分布列

1第十一章（理）第一节离散型随机变量的分布列题组一离散型随机变量分布列的性质1.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P0.51－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22解析：由分布列的性质得：0≤1－2q＜1，0≤q2＜1，0.5＋1－2q＋q2＝1⇒0＜q≤12，q＝1±22.∴q＝1－22.答案：C2．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2＜ξ≤4)等于()A.316B.14C.116D.516解析：P(2＜ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316.答案：A3．由于电脑故障，使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：ξ123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为______________．解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，2得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5.答案：2,5题组二求离散型随机变量的分布列4.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．解：随机变量ξ的取值为3,4,5,6.P(ξ＝3)＝C33C36＝120；P(ξ＝4)＝C11C23C36＝320；P(ξ＝5)＝C11C24C36＝310；P(ξ＝6)＝C11C25C36＝12.故随机变量ξ的分布列为：ξ3456P120320310125．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为34，遇到红灯(禁止通行)的概率为14.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：(1)ξ的分布列；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．解：(1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，则P(Ak)＝34(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立．故P(ξ＝0)＝P(A1)＝14；P(ξ＝1)＝P(A1·A2)＝34×14＝316；P(ξ＝2)＝P(A1·A2·A3)＝(34)214＝964；P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3·A4)＝(34)314＝27256；3P(ξ＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝(34)4＝81256.从而ξ有分布列：ξ01234P143169642725681256(2)P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－81256＝175256.即停车时最多已通过3个路口的概率为175256.题组三二项分布问题6.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．解析：A至少发生一次的概率为6581，则A的对立事件A：事件A都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以，A在一次试验中出现的概率为1－23＝13.答案：137．(2009·辽宁高考)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．解：(1)依题意知ξ～B(4，13)，即ξ的分布列为ξ01234P168132812481881181(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1B1＋A1B1＋A1B1＋A2B2，故所求的概率为4P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.题组四离散型随机变量及其分布列的综合应用8.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，其分布列为P(ξ)，则P(ξ＝4)的值为()A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(ξ＝4)＝C23C19C312＝27220.答案：C9．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P(ξ≤4)＝________.解析：相应的基本事件空间有36个基本事件，其中ξ＝2对应(1,1)；ξ＝3对应(1,2)，(2,1)；ξ＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．所以P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：1610．(2010·成都模拟)一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球；①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ分布列．(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710，并指出袋中哪种颜色的球个数最少．解：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则5P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C35C310＝112；P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512；P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512；P(ξ＝3)＝C35C310＝112.故ξ的分布列为：ξ0123P112512512112(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y＝25n，所以2y＜n,2y≤n－1，故yn－1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B)＝25·n－yn－1＋35·yn－1＋25·y－1n－1＝25＋35×yn－1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．