第十一章连续统的不可数性

第十一章连续统的不可数性19世纪的数学每一个世纪都以一种奇特的方式，显示不同的数学重点和数学思维方向。18世纪显然是“欧拉世纪”，因为他在学术领域没有任何对手，始终居于统治地位，并为后代留下了珍贵的数学遗产。相比之下，19世纪虽然没有一位特别出类拔萃的数学家，但却有幸拥有许多优秀数学家，他们将数学疆界推向新的令人意想不到的方向。如果说19世纪不属于某一位数学家，那么，它确实呈现出几个重要的主旋律。19世纪是抽象与广义化的世纪，是对数学的逻辑基础进行深入分析的世纪，这种逻辑基础曾构成牛顿、莱布尼兹和欧拉的理论基础。数学不再受“物理实在性”的局限而变得越来越独立，而在此之前，这种“物理实在性”始终明显地将数学束缚于自然科学。这种脱离实在世界的倾向可以说是以19世纪前30年出现的非欧几何作为其独立宣言的。我们在第二章的后记中曾说过，当欧几里得的平行线公设被舍弃而代之以另一命题的时候，出现了一个“奇怪的新世界”。突然间，通过直线外一点，至少可以画两条直线与之平行；相似三角形变成了全等；而三角形的内角和也不再等于180°。然而，对于非欧几何中所有这些似乎矛盾的性质，没有一个人能够从中找出逻辑矛盾。欧金尼奥·贝尔特拉米证明了非欧几何与欧氏几何一样，在逻辑上是成立的。从而在这两种几何之间架起了一座桥梁。我们可以设想，比方说，数学家甲致力于研究欧氏几何，而数学家乙则专攻非欧几何。双方的工作具有等效的逻辑正确性。然而“实在的世界”却不可能既是欧氏几何的又是非欧几何的；其中的一位数学家必定要付出终生的努力去探索一种并非“实在的”体系，那么，他或她是否在虚掷年华呢？19世纪，数学家越来越感到对这个问题的答案应该是否定的。当然，物质世界是否如欧几里得所述，这个问题应留待物理学家去探讨。这是一个经验性问题，是通过实验与严格的观测来确定的，但却与这两种几何体系的逻辑发展无关。对于一个热中非欧几何优美定理的数学家来说，美就足够了。无需物理学家去告诉数学家哪一种几何是“实在”的，因为在逻辑王国里，两者都是正确的。所以，几何学的这一根本问题带有一种解放的性质，将数学从只依赖于实验室的实验结果中解放出来。在这个意义上，我们看到，这与当时美术摆脱对现实的依赖的情形十分相似。19世纪初期，画家的画布还像以往一样，仅仅充当了一扇窗户，人们通过这扇窗户，可以看到有趣的人和事。当然，画家可以自由设定基调，选择颜色，确定明暗，强调某一局部而弱化其他部分；但无论如何，画家的作品就像一幅屏幕，让大家看到瞬间静止的事物。19世纪后半期，情况发生了明显的变化。在一些美术大师如保罗·塞尚、保罗·高庚和樊尚·凡高的影响下，美术作品获得了自己的生命。画家可以视画布为发挥自己绘画技能的二维战场。例如，塞尚认为，可以任意将静物苹果与梨变形，以增强整体效果。他批评伟大的印象派画家克劳德·莫奈只有“一只眼睛”，他的意思是说，画家的艺术不仅仅限于记录眼睛所看到的事物。总之，美术宣告了从视觉现实中的独立，同时，数学也显示出其脱离物质世界的倾向。这种并行的情况很有趣，以塞尚、高庚和凡高为代表的绘画，连同以高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基为代表的数学，其哲学内涵意义深远，影响持久，至今不衰。当然，我们也必须看到，这些发展并非得到了人们的一致认可。20世纪末，任何一个到美术馆参观的人，随时都能听到种种议论，人们对视觉艺术的现状，对在大幅画布上毫无意义地胡乱涂抹，对那些自称并不反映现实的作品（这些作品常常争议很大，而又十分昂贵）颇有微词。艺术家的赞助人则常常抱怨当代艺术家的解放走得太远了。他们渴望看到他们所熟悉的肖像画和令人赏心悦目的风景画。在这一方面，数学与美术也十分相似。在现代数学界中也有一种对当今数学状况不满的情绪。20世纪的数学家不但偏好非欧几何革命所带来的思想解放，而且还推动数学越来越远地脱离与实在世界的联系，直到把他们的逻辑结构变得抽象而神秘，以致使物理学家和工程师都如堕烟海，不知其所云。在许多人看来，这种趋势已把数学变成了一种毫无意义的符号游戏。数学史家莫里斯·克兰对这种倾向提出了最畅言无忌的批评，他写道：“随着深奥晦涩的原理被系统地阐述，已远离了最初的应用领域，而专注于抽象的形式。通过引入上百个分支概念，数学雨后春笋般地扩张为琐细而庞杂的一个个小门类，它们相互之间很少联系，且与最初的应用领域很少关联。”克兰认为，数学在其争取独立于物理学的来之不易的自由的过程中，走得太远了，以致成为枯燥而任意的纯粹形式主义体系。对他的严厉批评，数学界确应认真考虑。作为对克兰批评的回答，令人感兴趣的是，数学理论无论有多么抽象，却常常出人意料地应用于非常确实的实际问题。甚至将数学与实在断然分开的革命的非欧几何，也可以在现代物理书籍中找到它的足迹，现代相对论宇宙学就在很大程度上依据非欧几何建立了宇宙的模型。当然，19世纪的数学家是不可能预见到这种应用的，他们对于非欧几何，只是为了研究而研究；如今，非欧几何已成为应用数学的一部分，并成为物理学家的必要工具。数学有时会在最不可思议的地方出现。论争还在继续。最后，历史学家可能会看到，今天的数学虽然已远远地脱离了实在世界的桎梏，但令人难以置信的是，数学总能在其他学科的研究与发展中承担不可替代的角色。数学的抽象化将永远是19世纪留给人类的一笔财富。除了非欧几何的产生所提出的这些问题以外，另一个主要论争是关于微积分的逻辑基础。我们可以回想一下，微积分是17世纪末由牛顿和莱布尼兹奠定基础，而后在18世纪由李昂纳德·欧拉进一步完善的。然而，这些先驱者及其同时代的数学天才，都未能对微积分的基础给予充分注意。这些数学家如履薄冰，基础上的裂痕随时可能招致灭顶之灾。长期以来，人们始终感到，微积分有其问题。问题存在于对“无穷大”和“无穷小”概念的使用上，在牛顿的流数术和莱布尼兹的微积分中，这是必不可少的。微积分的一个核心思想是“极限”。无论微分，还是积分（还不要说级数收敛性和函数连续性的问题），都以这种或那种形式依据于这一概念。“极限”一词很有启发性，并有很强的直感。我们常常说，“我们的耐性或耐力到了极限”。然而，如果我们要从逻辑上准确地说明这一概念，就立刻出现了困难。牛顿曾对此作过尝试。他的流数概念要求他必须观察两个量的比，并确定当这两个量同时趋向于零时，它们的比将会怎样。用现代术语来说，他讲的正是两个无穷小量的比例极限，但他使用了一个更具特色的词“最后比”。对于牛顿来说，所谓两个正在消失的量的最后比“……应当理解为，既不是在两个量消失之前，也不是在它们消失之后，而是正当它们消失时的瞬间比。”当然，作为数学定义，这没有什么意义。我们可能赞同牛顿关于不应将极限概念基于两个量消失之前的比这一观点，但他所说两个量消失之后的比又是什么意思呢？牛顿考虑的似乎是当分子和分母刚好同时成为零时其说的逻辑困境。那么，莱布尼兹如何走出这一泥淖呢？他同样需要阐明极限过程中发生的变化，但他倾向于通过对“无穷小量”的讨论来探索这一问题。莱布尼兹所谓的无穷小量尽管不是零，但却小于任意有限量。他的无穷小量，犹如化学中的原子一样，是不可再分的数学单元，是最接近于零的量。但与此相关的哲学问题显然使莱布尼兹感到困惑，他不得不作出如下晦涩的说明：“当我们谈及无穷小量……（即在我们的知识中是最小的），它可以被看作是……无限小……如果有人想理解这些（无穷小），可以想象它们是最终的东西……这就足够了……如此假设是充分的……即使认为这样的东西是不可能的，也完全可以利用它们作为计算的手段，就像代数中用虚根有极大好处一样。”在这里，除了莱布尼兹对复数的偏见以外，还可以看到他关于数学的令人莫名其妙的陈述。显然，概念的含糊不清（特别是构成微积分基础的概念）使莱布尼兹犹豫不定。当数学家们正因微积分遗留的逻辑基础问题而深感不安时，又受到来自上帝的仆人——乔治·贝克莱大主教（1685—1753年）的强有力的攻击。贝克莱大主教在他刻薄的文章《精神分析学家或神学家致不信教的数学家》中嘲弄那些批评神学基础是一种虚幻信仰的数学家，攻击他们所信奉的微积分，其逻辑基础同样十分脆弱。贝克莱采取以子之矛陷子之盾的策略：“可以说，所有这些（来自数学的）观点都是那些对宗教过于苛求的人设想和信奉的，他们自称只相信亲眼所见……那么如果他们能消化二阶或三阶流数和微分，就不会因为某一神学观点而反胃。”如果说这些挖苦还不够刻薄的话，贝克莱又发出了更加无情的嘲笑：“所谓流数是什么？数学家们说，是瞬时增量的速度。那么，这些瞬时增量又是什么？它们既不是有限量，也不是无穷小量，然而又不是虚无。我们难道称它们为消失量的幽灵吗……？”这真糟透了，微积分的基础居然成了“消失量的幽灵”。可以想象，对于数以百计的数学家们来说，贝克莱的冷嘲热讽会使他们多么焦躁不安。数学界逐渐认识到，他们必须正视这一令人头痛的问题。纵观18世纪，数学家们对微积分在实际应用上的巨大成功过于乐观，以致阻碍了对其基础理论的研究。但是数学界内部日益增多的关注及外界贝克莱的傲慢无礼，已使他们别无选择。这个问题已经迫在眉睫，不能不解决了。这样，我们看到一个又一个才华横溢的数学家开始探讨这一基础理论。建立严格的“极限”理论是一个困难的漫长的过程，因为这一概念的内涵非常深奥，需要精确的推理和对实数系性质的深刻理解，这绝非易事。但数学家们对这个问题的研究已逐渐有所突破。1821年，法国数学家奥古斯坦-路易·柯西（1789—1857年）提出了如下定义：当一个变量逐次取的值无限趋近一个定值时，如果最终使变量的值与该定值的差要多小就有多小，那么，这一定值就称为所有其他值的极限。我们看到，柯西的定义避免了使用像“无穷小”样含糊不清的词，他没有将自己束缚于确定变量达到极限时的瞬间会如何如何。因而，这里也就不会出现消失量的幽灵。相反，他只是说，如果我们能够使变量的值与某一定值的差要多小就有多小，那么，这一定值就是该变量的极限。这就是所谓“极限回避”，柯西的定义绕开了关于达到极限的瞬间会发生什么这一哲学上的障碍。在柯西看来，最后瞬间的结局是完全不相干的，重要的是我们已经尽可能地澄清了极限这一概念，这才是我们所需要的。柯西的定义产生了深远的影响，以这一定义为基石，他继续阐明了微积分的许多重要概念。数学家们经过漫长的道路，进一步完善了基于这一极限定义的微积分，有力地反击了贝克莱大主教的“关心”。然而，柯西的陈述尚有一些不足之处。首先，他讲到，一个变量“趋近”某一极限，仅凭幻想就提出了一个关于运动的不明确的概念；如果我们必须依靠直觉来阐述关于点的移动和相互接近的概念，那么，我们仅仅依赖直觉提出“极限”概念难道就会更好些吗？其次，柯西使用的“无限”这一措词看起来也有点儿不确定；其意义需要进一步明确。最后，柯西的定义完全是文字叙述，有必要代之以简洁、明确、清晰的数学符号。于是，便出现了德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯（1815—1897年）及其追随者。他们使用一种读来有些拗口的方法，即“微积分的算术化”，支撑起微积分的基础。维尔斯特拉斯学派的语言是“当x趋近于a时，函数f(x)以L为极限”，可以严格地表述为：对于任意给定的ε＞0，总存在着一个δ＞0，所以，如果0＜｜x—a｜＜δ，那么，｜f(x)－L｜＜ε能够成立。不必全面理解这一定义，我们就可以清楚地看出，这个定义与柯西的定义明显不同。维尔斯特拉斯的定义几乎全部使用了数学符号，而且无一处暗示某一量向其他一些量的移动。总之，这是一个极限的静态定义。另外，维尔斯特拉斯的定义与前面所引牛顿和莱布尼兹的含糊不清、几乎引人发笑的陈述相比，大相径庭。维尔斯特拉斯逻辑严谨的定义虽然缺乏其前辈的某些趣味和魅力，但在数学上却是无懈可击的。在此基础上建立起的微积分大厦一直矗立至今。康托与无穷的挑战科学中常常会出现这种情况，一个问题的解决打开了解决另一个问题的大门。随着越来越少地依赖直觉构造概念而越来越多地依靠维尔斯特拉斯数学中的ε和δ，数学家们开始从更高的视角严格地审查微积分。他们得到了一些非常奇特和令人不安的发现。例如，考虑有理数与无理数两者之间的区别。有理数全都可以写成分数的形式，可以表示为整数的比。如果把有理数化