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1第十三讲刚体的运动学与动力学问题一竞赛内容提要1、刚体;2、刚体的平动和转动;3、刚体的角速度和角加速度;4、刚体的转动惯量和转动动能;5、质点、质点系和刚体的角动量;6、转动定理和角动量定理;7、角动量守恒定律。二竞赛扩充的内容1、刚体:在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动,刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。2、刚体的平动;刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行,刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。3、刚体绕定轴的转动;刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动,刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动,各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同(可与运动学的s、v、a进行类比)。且有:ω=ttlim0;β=ttlim0。当β为常量时,刚体做匀加速转动,类似于匀加速运动,此时有:ω=ω0+βt;Φ=Φ0+ω0t+βt2/2;ω2-ω02=2β(Φ-Φ0)。式中,Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况,有:v=ωR,aτ=βR,an=ω2R=v2/R,式中,R是该点到轴的距离,aτ、an分别是切向加速度和法向加速度。例1有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动,轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v0、加速度a作匀加速爬行,求小虫运动的轨迹方程。例2一飞轮作定轴转动,其转过的角度θ和时间t的关系式为:θ=at+bt2-ct3,式中,a、b、c都是恒量,试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r处的切向加速度和法向加速度。例3如图所示,顶杆AB可在竖直槽K内滑动,其下端由凸轮K推动,凸轮绕O轴以匀角速度ω转动,在图示瞬间,OA=r,凸轮轮缘与A接触处,法线n与OA之间的夹角为α,试求此瞬时顶杆OA的速度。BKAMnαOω2例4人在电影屏幕上看到汽车向前行驶,车轮似乎并没有转动时,则汽车运动的可能的最小速度是多少?已知电影每秒钟放映24个画面,车轮半径为0.5m.例5在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m,后轮直径为1.25m,两轮的轴的距离为2m,如图所示,在行驶过程中,从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块,0.2s后后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块,这两块石块先后落在地面上同一处,求拖拉机行驶时速度的大小。例6如图所示,由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2,外环半径为R1,在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度v1顺时针方向转动,而内环则以线速度v2顺时针方向转动,试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω。设小球与圆环间无滑动。例7一木板从空中下落,某时刻,板上a、b两点速度相同,va=vb=v,a、b两点均位于板面上,同时还发现板上c点速度为2v,c点到a和b两点的距离等于a和b两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v?4、力矩(1)对转动轴的力矩如图,转动轴过O点并垂直于纸面,过P点的力F对O轴的力矩M=Fr。其中,r为力臂。∵r=ρsinθ,∴M=Fsinθ·ρ。即,F对轴O的力矩,等于F垂直于OP连线的分力Fφ与OP的积:M=Fφ·ρ。当力的作用线不在垂直于轴的直线上时,可将力F分解为平行于轴的分量F∥和垂直于轴的分量F⊥,其中,F∥对物体绕轴的转动没有贡献,F⊥就是F在垂直于轴的平面上的投影,此时,F对轴的力矩可写成:M=F⊥·ρsinθ。2mOO′ABR1RR2ωvOrPFρθFρFφzOFF∥F⊥ρθ3(2)对参考点的力矩如图,F对O点的力矩M=Fsinθ·ρ。5、质点的角动量如右下图,质点m对点O的角动量L=r×p=r·psinθ=mv·r·sinθ,角动量又叫做动量矩(与力矩类比)。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地,当p⊥r时,角动量L=mvr。6、质点系(或刚体)的角动量即各质点角动量的总和,L=∑miviri=(∑miri2)ω=Iω。其中,I是刚体的转动惯量(I的数值不要求会计算)。质点对轴的转动惯量为:I=mr2,r是转动半径。7、刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能(EK=mv2/2)和相对质心的转动动能,其中,转动动能的大小:Ek=∑mivi2/2=1/2(∑miri2)ω2=(1/2)Iω2。8、刚体绕定轴转动的基本规律(1)力矩M和角加速度β的关系M=Iβ(类比于F=ma);(2)合力矩做的功和刚体转动动能的关系W=F·S=F·rθ=Mθ=(1/2)Iωt2-(1/2)Iω02.(与动能定理类比)。(2)质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑miviri(若是质点则不用∑符号),∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑(Fi+fi)ri,式中,Fi表示第i个质点受到的外力,fi表示该质点受到的系统内力。∵内力矩为零,∴⊿L/⊿t=∑Firi=M外,即M外⊿t=Lt-L0(与动量定理类比)。角动量定理可写成分量式。(3)质点、质点系或刚体的角动量守恒定律当M外=0时,L=恒量(与动量守恒类比),即系统的角动量守恒。其中,M外=0有以下三种情况:(i)体系不受外力,即Fi=0(合外力为零≠合力矩为零,如力偶矩的情况);(ii)所有外力都通过定点(这种外力叫有心力,如卫星所受的万有引力),尽管外力的矢量和不为零,但每个外力的力矩都为零;(iii)每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。例8、质量为m,长为l的均质细杆,绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时,它的动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek=Iω2/2,L=Iω,其中,I=ml2/3,现将此杆从水平位置由静止释放,设此杆能绕着过A的固定光滑细轴摆下,当摆角从0达θ时,试求:(1)细杆转动的角速度ω和角加速度β;(2)固定光滑细轴为杆提供的支持力。例9、质量为M,半径为R的均质圆盘,绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为L=Iω,其中,I=MR2/2,如图,细绳质量可忽略,绳与圆盘间无相对滑动,滑轮与轴之间无摩擦,m1>m2,试求物体运动的加速度。OρFFφFρθrmθpOθAm,lm1m2RMaaβ4例10、在光滑的水平面上,两个质量分别为m1和m2的小球,用长为l的轻线连接,开始时,线正好拉直,m1和m2的速度分别为v1和v2(v1>v2),它们的方向相同,并垂直于连线,试求:系统相对质心的角动量为多大?(2)线中的张力为多大?例11、如图所示,在光滑水平面上,质量均为M的两小球用长为l的轻杆相连,另一质量为m的小球以v0的速率向着与杆成θ角的方向运动,若(1)碰后m以v0/2的速率沿原路线反弹,试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω。(2)若M=m,且θ=45°,小球m以某一速率v0与杆上一球发生弹性碰撞后,沿垂直于原速度的方向运动,如图虚线箭头所示方向,求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。例12、一质量m=1.40×104kg的登陆飞船,在离月球表面高度h=100km处绕月球做圆周运动,飞船采用如下登月方式:当飞船位于图中A点时,它向外侧(即沿OA方向)短时间喷气,使飞船与月球相切地到达B点,且OA⊥OB,试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径R=1700km,月球表面的重力加速度为g=1.62m/s2。例13、如图,一长为L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上,某时刻,右边的线断了,问线断瞬间,左边线中的张力是多大?已知棒绕其一端的转动惯量I=ml2/3。mv0MMθORABvAvBm,L5例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行,在近地点,卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍,卫星的速度为在远地点时速度的4倍,求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。例15、两个质量均为m的小球,用长为l的绳子连接起来,放在一光滑的水平桌面上,给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v0,如图所示,求此系统的运动规律和绳中的张力大小。例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上,小滑块B位于桌面上的光滑小槽中,两滑块的质量都是m,并用长为l、不可伸长的、无弹性的轻绳相连,如图所示,开始时,A、B间的距离为l/2,A、B间的连线与小槽垂直,今给滑块A一冲击,使其获得平行于槽的速度v0,求滑块B开始运动时的速度。例17、如图所示,质量均为m的两小球系于轻弹簧的两端,并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a,劲度系数为k。今两球同时受冲力作用,各获得与连线垂直的等值反向的初速度,若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a,求两球的初速度v0。lv0ABv0v0v0mm6例18、在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球,设锥面内壁是光滑的。(1)为使小球在h处的水平面上做匀速圆周运动,则初速v0为多少?(2)若初速v1=2v0,求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。例19、(1)质量为m的人造地球卫星作半径为r0的圆轨道飞行,地球质量为M,试求卫星的总机械能;(2)若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f(常量),则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球,因f很小,轨道半径变化非常缓慢,每周的旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动,但r将逐周缩短,试求在r轨道上旋转一周,r的改变量⊿r及卫星动能EK的改变量⊿EK。例20、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体,O为其球心,已知取无限远处的电势为零时,球表面处的电势为U=1000V。在离球心O很远的O′点附近有一质子b,它以EK=2000eV的动能沿与O′O平行的方向射向a,以L表示b与O′O线间的垂直距离。要使质子b能够与带电球体a的表面相碰,试求L的最大值。把质子换成电子,再求L的最大值。例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道,进入轨道时,卫星的速度方向平行于地面,其大小为在地面附近做圆运动的速度的2/3倍,试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。hαObO′LORa7例22,如图所示,在水平光滑平面上开有一个小孔,一条绳穿过小孔,其两端各系一质量为m的物体,桌上的物体则以v0=2230gr的速率做半径为r0(即桌上部分的绳长)的匀速圆周运动,然后放手,求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。例23,一块半径为R的水平轻质圆盘,可绕过其圆心O的竖直轴自由旋转,在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m的小球,如图所示。开始时,圆盘静止,一辆质量也为m的玩具汽车从O出发,以恒定的相对于盘的速率v0沿半径驶往盘边,并沿盘边行驶,试求:(1)当玩具汽车沿半径行驶时,圆盘的转动角速度ω1;(2)当玩具汽车沿盘边行驶时,圆盘的转动角速度ω2。例24,若上题中的竖直轴不经过圆心,而经过某一小球的位置处,玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率v0沿盘边行驶,试求:(1)当玩具汽车行驶到第二小球位置处(即行驶了半圈)时,圆盘的转动角速度ω1;(2)当玩具汽车行驶到第三小球位置处(即行驶了3/4圈)时,圆盘的转动角速度ω2;(3)当玩具汽车回倒转轴处时,圆盘的转动角速度ω3。例25,在一根长为3L的轻杆上打一个小孔,孔离一端的距离为L,再在杆的两端及距另一端为L处各系一质量为M的小球,然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴O上,如图所示。开始时,轻杆静止,一质量为m的小铅粒以v0的水平速度射入中间的小球,并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽略,试求杆在以后摆动中的最大摆角。例26,一质量为Ma,半径为a的圆筒A被另一质量为Mb、半径为b的圆筒B同轴套在其外,均可绕轴自由旋转。在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一mmr0oRmmmmmMOMMLLLmv0Oab8层质量为M0的砂子,并在壁上开有许多小孔。在t=0时,圆筒以角速度ω0绕轴匀速转动,而圆筒B则静止。打开小孔,砂子向外飞出并附着在B筒的内壁上,如图所示。设单位时间内喷出砂子的质量为k,并忽略砂子从A筒飞到B筒的时间,求t时刻两筒旋转的角速度。例27,光滑水平面上有一小球A被一轻绳拴住,轻绳穿过平面上小孔O与小球B连接。开始时A球在水平面上绕O做匀速圆周运动,B球静
本文标题:第十三讲刚体的运动和动力学问题
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