第十二章动能定理

第十二章动能定理典型例题例１２．1复摆的质量为m，可绕光滑水平轴O转动，质心C到转轴O的距离bOC，它对通过质心C并与图面垂直的轴的回转半径为C．如图１２.１（a）所示，开始时0OC对铅直线的偏角为0，然后无初速地释放，求OC对铅直线的偏角为时复摆的角速度,和角加速度,,．解复摆在摆动过程中，偏角的正负号不断发生变化．为了统一起见，假设偏角沿逆时针方向，角速度,和角加速度,,也沿逆时针方向，质心C的速度和切向加速度也与,和,,的转向对应．如果求得上述某一量为负值，表示该量的真实方向与假设方向相反．复摆作定轴转动，除受重力mg外，还受支承O的反力OxF和OyF，如图１２.１（b）所示．本题是已知始，末转角和初角速度，可用积分形式的动能定理求末角速度，然后对时间求导的角加速度．有)cos(cos02102,mgbJO（１）其中)(222bmmbJJCCO代入式（１）有)cos(cos20222,bbgC（２）故复摆的角速度)cos(cos2022,bbgC（a）将式（２）对时间求导数得sin22,22,,,bbgC故复摆的角加速度sin22,,bbgC（b）讨论１．本例也可用微分形式的动能定理首先求角加速度，然后积分得角速度．有sin)2/(2,mgbdJdOsin)(,,22mgbddbmC两边同除以dt，稍加整理后，得复摆的角加速度sin22,,bbgC考虑到dddddtd,,,,,，对上式积分有0,sin220,,dbbgdC稍加整理后，得复摆的角速度)cos(cos2022,bbgC２．因为作功的重力是有势力，也可用机械能守恒定理求解，由2211VTVT其中，01T，2/2,2OJT．若取O所在的水平面为重力场的零势能位置，则有01cosmgbV，cos2mgbV将上述各表达式代入式（３），即得式（２）．例１２．２如图所示的外啮合的行星齿轮机构放在水平面内，今在曲柄OA上作用常值转矩0M，带动齿轮１沿定齿轮２滚动而不滑动．已知齿轮１和２的质量分别是1m和2m，并可看成半径分别是1r和2r的匀质圆盘；曲柄质量是m，并可看作匀质细杆．假设机构由静止开始运动，试求曲柄的角速度和角加速度与其转角之间的关系．摩擦忽略不计．解取整个系统为研究对象，曲柄OA作定轴转动，轮１作平面运动．应用积分形式的动能定理求解，有MTT12（１）其中初动能01T，而末动能2112122212121AAOJvmJT因为221)(31rrmJO，)(21rrvA，211121rmJA，12111rrrrvA，由于机构水平放置，重力不做功，只有转矩OM做功，代入式（１）得OMrrmrrm0)(43)(61222112221（２）由式（２）得曲柄角速度与其转角的关系1219232mmMrrO将式（２）对时间求导数，得dtdMdtdrrmdtdrrmO2211221)(23)(31考虑到dtd，dtd，最后得曲柄的角加速度为)92()(61221mmrrMO可见，曲柄作匀加速度转动，与转角无关．