二重积分习题课

第十章习题课（一）一、二重积分基本概念二、直角坐标下计算二重积分三、极坐标下计算二重积分二重积分概念与计算内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:•若积分区域为X型则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf•若积分区域为Y型则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyyxybaDOxy)(1yxxDdc)(2yxxODDfyxf)sin,cos(d),(则﹡(2)一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd)],(),,([d),(J极坐标系情形:若积分区域为dd在变换下D)(1)(2Ox(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先找两端点，后积一条线)充分利用对称性应用换元公式xyoD设函数(上下对称)D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称（左右对称）,函数（看x)关于1D在D上d),(21Dyxf在闭区域D上连续,区域D关于x轴对称则（变量看y)则变量x有奇偶性时,仍有类似结果.二重积分的对称性在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0二重积分的对称性特别重要！如，D1为yx1xy1O典型例题例1.设且则.d)()(d110yyfxfxIx分析:交换积分顺序后,x,y互换yxIxyfxfyd)()(010dy10dxI2yyfxfxxd)()(d11010dx10dxyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A等于（）22AI22AttydxxfdytF1)()()2(F2(2)f(2)f2(2)f例2．设f(x)为连续函数，，则等于（）.B.C.D.0A.分析：.交换积分次序，变成定积分积分上限函数ttydxxfdytF1)()(1()tfxdx1(1)()txfxdx()(1)()Fttft(2)(2)Ff选B.BO.x.y.t.1.y=x.1.1xdyD12xy21xy2()Daxybydxdyabbaab例3.设是由曲线和围成的平面区域，则A.等于0B.符号与有关，与C.符号与有关，与无关D.符号与、都有关.（）无关分析：.如图：.x.y.o.由积分区域的对称性2()Daxybydxdy2DDaxydxdybydxdy20Dbydxdy2Dbydxdy选C.C(,)fxy(,)(,)ddDfxyxyfuvuvD0y2yx1x(,)fxyxy2xy18xy1xy例4.设连续,且是由围成,则（）A.B.C.D.分析：.注意到二重积分是数，故设.(,)ddDAfuvuv则.(,)fxyxyA(,)ddDAfuvuv()DuvAdudvo.u.v.1123A18A选C.C2100()uduuvAdv.例5.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,在1D),(),(yxfyxf2D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224上在上(-1,0)(1,0)D2D3D4D例6则yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(11D分析:如图,4321DDDDD由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于x的偶函数A},,),{(ayxaxayxD),{(1yxD},,0ayxaxxyaaaODdyxx)963(2，其中D为圆周222ayx所围成的闭区域。.例7xayo解：如图由积分区域的对称性，有Ddyxx)963(22369DDDDxdxdydd2221()92Dxyda22200192adda2294aa22Dx[1(xy)]dxdyyfD3yx1y1xufD例8.计算其中是由及所围成的区域，是上的连续函数.解：如图yox做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D222Dx[1(xy)]dxdyyf1122()DDxdxdyxyfxydxdy2222()DDxdxdyxyfxydxdy1Dxdxdy30012xdxxdy25例9.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.OxyDππxxy解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:0π:0xDyxDyxxxddsinxy0dπ0dsinxx2π0dsinxxx先对x积分不行,cosaxaO例10.交换积分顺序aarccos解:积分域如图rra0daarccosaarccosId),(faxy2解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax例11.给定改变积分的次序.ay0dayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax2||Dyxdxdy,其中(,)11,02Dxyxy例12.计算oxy2yx解：如图为去掉绝对值，做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D22||Dyxdxdy12Dxydxdy22Dyxdxdy由积分区域的对称性，有212002xdxxydy212202xdxyxdy231220012()2xxydx223122012()2xyxdx532例13.解:.24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy例14.计算解：如图oxy124（2,2）（1,1）24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy221sin2yyxdydxy2212(cos)2yyyxdyy212(coscos)22yydy34(2)Dr2222201limcos()ddxyrDexyxyr例15.设区域是中心在原点，半径为的圆盘，求解：如图xr由积分中值定理，存在(,)D使222221cos()ddxyDexyxyr2222221cos()err2222cos()e于是2222201limcos()ddxyrDexyxyr22220lim(cos())re=1(,)或者2222201limcos()ddxyrDexyxyr22220001limcosrrdedr222002limcosrredr2202coslim2rrrerr由洛必达法则=1xr例16.设二元函数22211(,)12xxyfxyxyxy解：当时，1yx12xyxy计算(,)Dfxyd其中(,)2Dxyxy由对称性1D2D1(,)Dfxyd12Dxd112004xdxxdy13当时，2(,)Dfxyd22sincos10sincos4dxd42ln(21)(,)Dfxyd142ln(21)3于是2222()Dxydab，其中D为圆周222ayx所围成的闭区域。.例17.xayo解：如图由积分区域的对称性，有2222()Dxydab222211DDxdydab22222211()()22DDxydxydab222211()()22Dxydab22220011()22addab422111()4aab例18.设f(x)是在[0,1]上连续，单调减少的正值函数，1122001100()()()()xfxdxfxdxxfxdxfxdx证明:证明:∵x∈[0,1]且f(x)0,∴上述四个积分都大于零令1111220000()()()()Ifxdxyfydyyfydxfxdx变成二重积分22(()()()())Dfxyfyyfyfxd(()()(()())Dyfxfyfxfyd交换变量符号(()()(()())DIxfxfyfyfxd(,)01,01Dxyxy(()()(()())DIxfxfyfyfxd(()()(()())DIyfxfyfxfyd于是，将上两式相加，得1(()()(()())()2DIfxfyfyfxxyd因f(x)单调递减，所以当xy时()()0fyfx当xy()()0fyfx于是总有0I从而有1122001100()()()()xfxdxfxdxxfxdxfxdx例19.设f(x)在[0,1]上连续，()()1()()()2Dafxbfydabfxfy(,)01,01Dxyxy证明:证明:因为D关于x=y对称，所以()()DDfxdfyd设()()()()()()DDfxfyIadbdfxfyfxfy()()()()()()DDfyfxadbdfxfyfxfy所以1(()())(()())2()()DafxyybfxyyIdfxfy1()2ab(交换变量符号)2222230()2lim(0)3xyttfxydxdyft(0)0f()fu例20.设为可微函数且证明：证明：2222230()limxyttfxydxdyt20030()limttdfdt0302()limttfdt202()lim3ttftt02()0lim30tftt2(0)3f220lim2(0,0)Dffxyxydxdyfxy(,)fxy例21.设在单位圆上有连续偏导数,且在边界上证明：取值为零，证明：222(,)1Dxyxy令cos,sinxy则ffxffxycossinffxy从而fffxyxy因为(,)fxy在单位圆的边界上取值为零，则当1时，(cos,sin)0f因此22DffxyxyIdxdyxy2Dfdd210fdd210(cos,sin)fd20(cos,sin)fd20(cos,sin)fd02(cos,sin)f0,2故00limlim(2(cos,sin))If2(0,0)f由积分中值定理