第十章第二节排列组合及其应用

1第十章第二节排列、组合及其应用题组一排列问题1.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”(可以不相邻)，这样的排列数有多少种()A．12B．20C．40D．60解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种排法，即C35×2，②然后让D、E排在剩余两个位置上，有A22种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为C35×2×A22＝40.答案：C2．(2010·东北模拟)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有()A．48种B．24种C．36种D．96种解析：一号场地的安排方案有C23C12C12＝12种，即表示从3个国家中选择2个，而后再从所选择的2个国家中各选择一名裁判，最后剩余1个国家的两名裁判，和另外2个国家各剩的一名裁判，将其分到两个场地易求得有A22A22＝4种安排方案，综上，共有12×4＝48种安排方案．答案：A3．从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有()A．120个B．300个C．240个D．108个解析：第一步：把5放到四位数的末位上；第二步：从1,3,7中任取1个，有C13种方法；第三步：从2,4,6,8中任取2个数字，有C24种方法；第四步：把选出的3个数字分别放在四位数的千位、百位与十位上，有A33种方法．故共有C13C24A33＝108种方法．答案：D4．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的奥运宣传广2告，1个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，2个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方法有________种．解析：分三步：第一步，安排3个商业广告，有A33种不同的方法；第二步，从奥运宣传广告与公益广告中选择1个安排在最后一个播放，有A13种不同的方法；第三步，把剩下的两个广告安排到3个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的3个空位中，有A23种不同方法，所以共有A33A13A23＝108种方法．答案：108题组二组合问题5.(2009·全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种解析：从反面考虑：C24·C24－C24＝6×6－6＝30.答案：C6．已知有穷数列{an}(n＝1,2,3，…，6)满足an∈{1,2,3，…，10}，且当i≠j(i，j＝1,2,3，…，6)时，ai≠aj.若a1a2a3，a4a5a6，则符合条件的数列{an}的个数是()A．C310C37B．C310C310C．A310A37D．C610A36解析：先从10个数中任意选出3个，最大的数为a1，最小的为a3，另一数为a2，这样的选法有C310种；同理，从剩余的7个数中任选3个，有C37种选法，由分步计数原理知共有C310C37种选法．答案：A7．(2009·海南、宁夏高考)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有C67种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有C36C33A22种分法．最后排在周六和周日两天，有A22种排法，∴C67×C36C33A22×A22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C37种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C34种排法，∴共有C37×C34＝140种．答案：1408．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．3解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12·C34＋C22·C24＝2×4＋1×6＝14.法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46－C44＝15－1＝14.答案：14题组三排列与组合的综合应用9.用三种不同的颜色填涂右图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有()A．48B．24C．12D．6解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有A33＝6种方法；第二步，用与1号区域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有A22＝2种方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可知共有6×2＝12种涂法．答案：C10．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个(用数字作答)．解析：个位数字是2或4，若个位是2，则十位数字必须是3，共有A33个；若个位是4，则将2,3作为一个整体，与1,5进行排列，共有2A33个．所以总共有A33＋2A33＝18个．答案：1811．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，1234567894有A44种测法．所以共有不同排法A46·A24·A44＝103680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576种．12．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法．第二步：选2名女运动员，有C24种选法．共有C36·C24＝120种选法．(2)法一(直接法)：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．法二(间接法)：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246种．(3)法一(直接法)：“只有男队长”的选法为C48种；“只有女队长”的选法为C48种；“男、女队长都入选”的选法为C38种；所以共有2C48＋C38＝196种．法二(间接法)：从10人中任选5人，有C510种选法．其中不选队长的方法有C58种．所以“至少1名队长”的选法有C510－C58＝196种选法．(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种．