第十章重积分

第十章重积分教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。§91二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D分成n个小区域12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以f(ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f(ii)i(i12n)这个平顶柱体体积之和iiinifV),(1可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即iiinifV),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值2平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D分成n个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量(ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值iiiniM),(1将分割加细取极限得到平面薄片的质量iiiniM),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值定义设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域12n其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和iiinif),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分记作dyxfD),(即iiiniDfdyxf),(lim),(10f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作dxdyyxfD),(其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当f(xy)在闭区域D上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二二重积分的性质性质1设c1、c2为常数则dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),()],(),([2121性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如D分为两个闭区域D1与D2则dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(性质3DDdd1(为D的面积)性质4如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式dyxgdyxfDD),(),(特殊地有dyxfdyxfDD|),(||),(|性质5设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则有MdyxfmD),(性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点()使得),(),(fdyxfD§92二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为)()(000201),()(xxdyyxfxA根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为badxxAV)(dxdyyxfbaxx]),([)()(21即VdxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21可记为baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地如果区域D为Y型区域D1(x)y2(x)cyd则有dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例1计算dxyD其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx注积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是212][yDdyxydxdxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy例2计算dyxyD221其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx21)1(32103dxx也可D看成是Y型区域：1y11xy于是111222211yDdxyxydydyxy例3计算dxyD其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域解积分区域可以表示为DD1+D2其中xyxxD,10:1xyxD2,41:2于是41210xxxxDxydydxxydydxdxy积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是2122yyDxydxdydxy21222]2[dyyxyy2152])2([21dyyyy855]62344[21216234yyyy讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0y22xR,0x}为底以22xRz顶的曲顶柱体于是dxRVD228RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR002222][83022316)(8RdxxRR二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为iiiiii2221)(21iiii)2(21iiiii2)(iii其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点),(ii设其直角坐标为(ii)则有iiicosiiisin于是iiniiiiiiiniiiff1010)sin,cos(lim),(lim即ddfdyxfDD)sin,cos(),(若积分区域D可表示为1()2()则dfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(讨论如何确定积分限?dfdddfD)(0)sin,cos()sin,cos(dfdddfD)(020)sin,cos()sin,cos(例5计算Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是DDyxddedxdye222deddeaa020200]21[][22)1()1(212220aaede注此处积分Dyxdxdye22也常写成22222ayxyxdxdye利用)1(222222aayxyxedxdye计算广义积分dxex20设D1{(xy)|x2y2R2x0y0}D2{(xy)|x2y22R2x0y0}S{(xy)|0xR0yR}显然D1SD2由于022yxe从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222122DyxSyxDyxdxdyedxdyedxdye因为2000)(22222RxRyRxSyxdxedyedxedxdye又应用上面已得的结果有)1(42122RDyxedxdye)1(422222RDyxedxdye于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220RRxRedxee令R上式两端趋于同一极限4从而220dxex例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍DdxdyyxaV22244其中D为半圆周22xaxy及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为02ac