1.1.2余弦定理教案

绥化市第一中学高一备课组主备教师：邱艳雷张莹张喜超授课教师：授课时间2012年3月1日～3月日，第1周，共2课时课题《余弦定理》教学设计教学目标知识与技能1通过实践与探究，会利用数量积证明余弦定理，提高数学语言的表达能力，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。2．会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。3．会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。过程与方法通过体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.情感态度与价值观在方程思想指导下，提升处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。[来教学重点余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。教学难点理解余弦定理的作用及适用范围。教学设想教材分析这节课与初中学习的三角形的边和角的基本关系及判定三角形的全等有密切联系，是高考的必考内容之一，在日常生活和工业生产中也应用很多。因此，余弦定理的知识非常重要。这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，在学习了正弦定理基础上进一步研究的。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。教法设计运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。（1）新课引入——提出问题,激发学生的求知欲。（2）掌握余弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得余弦定理及证明过程。（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。（4）巩固练习——深化对余弦定理的理解。课标或考纲要求掌握余弦定理的推导及其应用。课件使用意图电脑、多媒体。教学环节教学内容设计意图教师活动设计学生活动设计一、温故引新特例激疑1，正弦定理是三角形的边与角的等量关系。正弦定理的内容是什么？你能用文字语言、数学语言叙述吗？你能用哪些方法证明呢？2，运用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？3，思考：如图，在ABC中，已知,,ABCcACbBACA，求a即BC。本题是“已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。”的解三角形的问题。本题能否用正弦定理求解？困难：因为角BC、未知,较难求a。二、类比探究理性演绎正弦定理：在一个三角形中各边和它的对边的正弦比相等，即：2sinsinsinabcRABC，其中2R为三角形外接圆的直径。说明：正弦定理说明同一个三角形中，边与它所对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数2R，使2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC。由,sinsinsinsinabbcABBC，可以解决“已知两角及其一边可以求其他边。”“已知两边及其一边的对角可以求其他角。”等解三角形问题。（一）类比探究当一个三角形的两边和它们的夹角确定后，那么第三边也是确定不变的值，也就是说角A的对边随着角A的变化而变化。师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标。同时以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。cBbBbBaBbBBCAcBbBbBaBbBBCAcBbBbBaBbBBCAcBbBbBaBbBBCA当bc、一定，A变化时，a可以认为是A的函数，0,A。当2A时，222abc（勾股定理），为方便起见，考虑2a关于A的函数，记作2afA，即2222afbc。当A变化时，2a怎样变化？考虑两种极端情况：02AAA　　　　　　　　　　　　　　　　bBbBcBaBbBBCAcBbbBbaBbBBCAcBbbBbBBCA当A时，则22222abcbcbc;当0A时，则22222abcbcbc;通过画三角形及分析边和角度的变化来研究性质。利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题的能力。优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间内在联系的理解和认识。知识性、方法性内容的小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质。猜想：2bc的系数101、、与02A、、之间存在什么对应关系呢？。（二）理性演绎同学们来考虑，证明恒等式通常采用什么思考方法？cosbcA这样的结构我们在什么地方遇到过?ABCcab我们比较三种情形的异、同点：当0A时，则22222221,abcbcbcbc;当2A时，2222220,abcbcbc当A时，则222222221.abcbcbcbcbc相同点:都含有22bc；不同点:2bc的系数不同；那么就得到了当角A为三个特殊角时的公式：2222cosabcbcA，这个公式是不是满足任意三角形呢？凭感觉上述公式应该满足任意三角形，但是我们应该给出严格的证明。证明：22222cos2cosbcbcAACABACABA222222ACABACABACABBCa提高学生对比分析能力.提高证明能力三、完善知识剖析升华（二）剖析升华（1）余弦定理与正弦定理一样，也是任何三角形边角之间存在的共同规律,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.（2）等式2222cosabcbcA含有四个量abcA、、、，从方程的角度看，已知其中三个量，总可以求出第四个量。（3）根据已知量与未知量的性质可以知道，余弦定理可以解决有关三角形的哪些问题呢？利用余弦定理及推论可以解决以下两类三角形的问题：①已知三边求三角形的三个角；②已知两边及其夹角求三角形的其他边与角。这两种类型问题在有解时都只有一个解，把“边、边、边”和“边、角、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式。（4）从余弦定理和余弦函数的性质可知：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角例1：ABC中，7,5,3abc，求这个三角形的最大角。（一）完善知识（1）余弦定理：在ABC中，,,ABcBCaACb，则：2222cosabcbcA；2222cosbacacB；（第一种形式）2222coscababC（2）语言表述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。（3）变形：222cos2bcaAbc；222cos2acbBac；（第二种形式）222cos2abcCab。解：∵abc，∴这个三角形的最大角是A。222cos2bcaAbc2225371.2532所以这个三角形的最大角是23A。教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利完成书面表达.强调知识重点.整体把握的数学方法便于学生巩固知识，提高教学效果.四、例题示范迁移运用引申：已知三角形三边长为abc、、，怎样判断ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？例2：ABC中，23,62,4acB，求b及A。思考：你可以用平面几何知识求解本题吗？分析：如图，在ABC，过C作CHAB于H，,234Ba，则6,6BHHC，在AHC中，2,6,22,3HAHCACbA23aHBCA五、归纳小结解：根据余弦定理可知：222222cos236222362cos41284326628bacacB∴22b；又222cos2bcaAbc2222262231.222262∴3A。1、余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。能否用余弦定理证明勾股定理呢？2、余弦定理有两个基本应用：一是已知三边求三角,二是已知两边及他们的夹角求第三边。3、余弦定理和正弦定理是同一三角形的约束条件的不同表现形式，在本质上应该是一致的。作业设计1、P51练习第1、2题；2、习题2--1A组第3、4题.板书设计余弦定理证明过程定理内容：例1例2例3课堂小结教学反思精彩之处需要修改的地方