第四章1异方差

1第四章经典单方程计量经济学模型（放宽基本假定的模型：§4.1异方差性我们已学到了许多有用的计量经济分析方法，如建立模型、估计参数、假设检验、预测、非线性模型的线性化等。本章讲授违背基本假定一种情况：随机误差项序列存在异方差性。目的与要求：掌握异方差的概念包括经济学解释，异方差的出现对模型的不良影响，诊断异方差的方法和修正异方差的若干方法；经过学习学生能够处理模型中出现的异方差问题。本章讲授要点：异方差性的含义、产生后果、检验方法及补救措施一、异方差的定义对于线性模型0111,2,,iikkiYXXuin若对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，即22()()1,2,,iiiVarufXin则认为该模型出现了异方差性(Heteroskedasticity)。例4.1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为:01iiiYXYi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入。高收入家庭：储蓄的差异较大；低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小；μi的方差呈现单调递增型变化例4.1.2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：01iiiCX将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。高收入家庭：消费的差异较大；低收入家庭：消费则更有规律性，差异较小。二、产生异方差性的原因21、模型中缺少了某些解释变量1）由于一些客观原因，使得某些重要的解释变量无法包括在模型中；2）由于一些主观原因，在变量的选择上遗漏了某些重要的解释变量（设定偏误）2、样本数据的观测误差样本数据的观测误差常随时间的推移逐步积累；或随着数据采集技术的改进，随机干扰项的方差减小。注：除上述原因外，模型的函数形式不正确、异常值的出现等原因都可能产生异方差性。三、异方差性的后果（一）参数估计量无偏，但不满足有效性（用OLS估计）考虑一个简单的（具有异方差性的）线性回归模型：01iiiYXu利用普通最小二乘法，可得回归系数的最小二乘估计量为：11122ˆiiiiiiiixyxukxx1、该估计量为无偏估计：11ˆ()E证明：1111ˆ()()()iiiiEEkkE2、参数估计量的方差非最小OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性，因为在有效性证明中利用了21()E。以一元线性回归模型为例进行说明：在模型01iiiYXu中，*11ˆOLS记存在异方差情况下的估计为11*11ˆ:ˆˆ))OLSVarVar不存在异方差情况下的估计为,则有（（这是因为：3112ˆ()var()var()var()var()iiiiiiiiVarkkkk)0(ijEuu其中：（无自相关性）22212ˆ())()()iiVaruVarXX同方差（（1）2222222222222*22222222222:,:)()()ˆ)()(),121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiuXVarufXXxEuxXxXVarxxxxxXx异方差为了证明方便不妨设的方差随变化即设（（对于多数经济资料有故有（）大于（）（2）()t二检验失效统计量变大）。了真实方差（去估计其方差，即低估（方差大，如果仍用的估计时的方差比不存在异方差估计的存在异方差时，tVarOLSOLS)ˆˆˆ22*22（三）预测精度降低异方差存在：参数的OLS估计的方差增大，造成对Y的预测误差变大，降低了预测的精度；用该统计量对参数进行区间估计时，将会产生偏误，使估计失真。22ˆˆˆixES）（)ˆ(ˆ)2(ˆ222ESnt22)(11ˆˆiFFxXXneES）（)(ˆˆ2FFeestY四、异方差检验检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：4首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近似估计量”，用~ei表示。于是有（一）图形分析法：利用残差序列绘制出各种图形，以供分析检验使用。1、解释变量为X轴，残差的平方e2（或因变量Y、残差e）为Y轴的散点图。2、时间为X轴，残差e为Y轴的残差序列图；3、因变量估计值y为X轴,残差e为Y的Y-e散点图）。则认为存在异方差）。并不近似于某一常数，作散点分布图上（用；变化，认为存在异方差渐变宽、变窄、不规则作散点分布图的区域逐用种。异方差、复杂异方差三分为递增异方差、递减异方差的类型大致可以22eXeXYi~ei2~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差(二)帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验格里瑟（H.Glejser）检验是残差回归检验法之一。它是用普通最小二乘法的残差的绝对值对各解释变量建立各种回归模型，检验回归系数是否为零。由于合适的回归形式未知Glejser曾提出如下模型形式（大样本时选择上述5个模型能够得到满意的效果）5iiiiiiiiiiiiiiiXeXeXeXeXe11212121212（三）戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验Goldfeld-Quandt检验(样本分段法）——1972年提出1）假定条件a)样本容量较大、异方差递增或递减的情况；b)随机扰动项服从正态分布；c)除了异方差外，其它的假定都满足。2）检验的基本思路a)将样本按某个解释变量的大小顺序排列，并将样本分成三段；b)用头（样本1）和尾部（样本2）分别拟合模型（作回归）；c)比较产生的两个子样的残差平方和之比（统计量），以此统计量来判断是否存在异方差。3）G-Q检验具体步骤a）将样本（观察值）按某个解释变量的大小排序；b）将序列中间（段）约c=1/4个观察值除去，并使余下的头、尾两段样本容量相同，均为(n-c)/2个；c）提出假设：为异方差：）；为同方差（即iiuHuH122210:d）分别对头、尾两部分样本进行回归，且计算各残差平方和分别为（变量值大）变量值小）和2221(ee并建立统计量)2,2(~]2)(/[]2)(/[21222122kcnkcnFeekcnekcneF其中：k是估计参数的个数。e）进行F检验6)2,2(kcnkcnFF分布表得，查对给定的FF，则拒绝原假设，认为存在异方差性；否则不存在异方差性。（四）White检验（大样本检验）怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差。怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：设01122ttttYXXu（1）23XX异方差与解释变量、的一般线性关系为:222012233243523ttttttttXXXXXXv1）White检验的具体步骤：;1)）式进行回归对（a2)teb求)(())c构造辅助回归方程对所有的解释变量及其交叉项或无交叉项，如：222012233243523tttttttteXXXXXXv（2）0:0:*1543210iHH至少一个））（一般：自由度为多少？渐近服从成立，1()5(*220KnRH)5(*2，查表得：对给定的2*nR计算220*(5)nRH，拒绝，表示存在异方差。4、ARCH检验（时间序列数据）1）检验的基本思路设12233tttYXXu（3）722(1,2,,)ttiiP设异方差与之间的关系为:222201122tttPtPtv构造辅助回归模型：tPtPtttveeee2222211020:0:1210iPHH至少一个是否成立。检验原假设0:210PHARCH检验的具体步骤：1）对（3）式进行回归tttYYeˆ2）求2212pttteee、、、3）构造辅助回归方程222201122tttPtPteeeev（4）对（4）式进行回归2Ra)0::1210iPHH至少一个b))(~)(220PRPnH成立，c))(2P，查表得：对给定的d)2)(RPn计算e)，模型存在异方差。拒绝，022)()(HPRPn（或观察统计量F-statistic和Obs*R-squared，如果统计量的值很小，相应的p值大于5%，则接受原假设）四、异方差的解决方法补救异方差的基本思路：变异方差为同方差；尽量缓解方差变异的程度方法：（一）加权最小二乘法（二）对原模型变换的方法（三）“一般解决法”（模型的对数变换）8(一)加权最小二乘法（WLS）1、加权最小二乘法的基本思路同方差时：认为各ei提供信息的重要程度是一致的，即将各样本点提供的残差一视同仁异方差时：离散程度大的ei对应的回归直线的位置很不精确，拟合直线时理应不太重视其提供的信息，即Xi对应的ei偏离大的所提供的信息贡献应打折扣（给予较小的权数）；而偏离小的所提供的信息贡献则应于重视（给予较大的权数）。因此采用权数对残差提供的信息的重要程度作一番校正，以提高估计精度。这就是WLS（加权最小二乘法）的思路。2、加权最小二乘法的机理以递增型为例。设权术WI与异方差的变异趋势相反，如22/1),,2,1(/1iiieWniW或（Wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差）3、加权最小二乘法的定义iiiuXY21例，模型估计的加权最小二乘法，即求满足2212))ˆˆ((minminiiiiXYWeW****212*2ˆˆˆiiiiiWyxYXWx**iiiiiiWxWyXYWW其中：(二)对原模型变换的方法1、模型变换法的定义模型变换法是对存在异方差的总体回归模型作适当的代数变换，使之成为满足同方差假定的模型,进而运用OLS方法估计参数。2、模型变换法的关键通过对具体经济问题的经验分析，事先对异方差给出合理的假设)(22iiXf3、原模型变换法的过程9)()(2iiXfuVar,则对原模型进行变换，即用)(1iXf去乘以模型的两边，变换后的模型具有同方差性。（注：对原模型变换的方法与加权最小二乘法是等价的，最多相差一个常数因子）)()()()(21iiiiiiiXfuXfXXfXfY，2))((iixfuVar其中：的常用形式、实际处理异方差，)(4iXf201(1),(2),(3)iiiiiifffaaXXXXXX(三)“一般解决法”（模型的对数变换）在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。因为:对数形式可以减少异方差和自相关的程度。对数变换的效果——减少差异Log10=1Log100=2Log1000=3