第四章—牛顿法求解无约束问题

牛顿法求解无约束多维优化问题一、基本思想牛顿法是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程()0fx逐步归结为某种显性线性方程来求解。在kx邻域内用一个二次函数()x来近似代替原目标函数，并将()x的极小值点作为对目标函数()fx求优的下一个迭代点1kx。经多次迭代，使之逼近目标函数()fx的极小值点。二、数学模型将目标函数()fx作二阶泰勒展开，设1kx为()x的极小值点1()0kx21()()()0kkkkfxfxxx121[()]()(0,1,2,3)kkkkxxfxfxk这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。对于二次函数，海塞矩阵H是一个常矩阵，其中各元素均为常数，因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小值点。从牛顿法迭代公式的推导过程中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿迭公式，有时会使函数值上升。三、算例分析算例1、2212()(4)(8)fxxx取初始点[1,1]Tx2()()()()()1()()()2kkTkkTkkfxxfxfxxxxxfxxx初步分析，目标函数为二次函数，经过一次迭代即可得到。编制程序及计算结果如下：symsx1x2;f=(x1-4)^2+(x2-8)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);e=1e-12;x0=[1,1]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;while(norm(g1)e)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;end;kx0结果：k=1x0=48正如分析所得，迭代一次即可得出极小值点。算例2、243123()(10)(8)(5)fxxxx取初始点[1,4,1]Tx目标函数为三维函数，且都高于二次，海塞矩阵存在且不为常数，迭代次数大于一次。编制程序和计算结果如下：symsx1x2x3;f=(x1-10)^2+(x2-8)^4+(x3+5)^3;v=[x1,x2,x3];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);e=1e-12;x0=[-1,4,1]';g1=subs(df,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)});G1=subs(G,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)});k=0;while(norm(g1)e)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)});G1=subs(G,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)});k=k+1;end;kx0结果：k=28x0=10.00008.0000-5.0000四、结果分析牛顿迭代法主要利用二阶梯度进行求解，在针对上述算例进行计算后，主要存在以下问题：1)牛顿法所求极小值点是局部极小值点，对于取初值有一定要求。为了克服这一困难，引入了阻尼牛顿法以得到大范围收敛特性。2)对于二次的目标函数，其海塞矩阵为常数阵，迭代一次即可得到结果，收敛速度较快。3)对于某些方程，例如24123()(10)(8)(5)fxxxx，迭代点的海塞矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。4)牛顿法在计算过程中，计算量偏大，不仅要计算梯度，还需要计算海塞矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。