第四章三角函数与三角形4-7应用举例

第4章第7节一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()A．aB.2aC．2aD.3a[答案]D[解析]依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理cos120°＝AC2＋BC2－AB22AC·BC∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2－12＝3a2∴AB＝3a.故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“sinA32”是“∠Aπ3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]在△ABC中，若sinA32，则∠Aπ3，反之∠Aπ3时，不一定有sinA32，如A＝5π6时，sinA＝sin5π6＝sinπ6＝12.(理)在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]当a＝b时，A＝B，∴acosA＝bcosB；当acosA＝bcosB时，由正弦定理得sinA·cosA＝sinB·cosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.则a＝b或a2＋b2＝c2.所以“a＝b”⇒“acosA＝bcosB”，“acosA＝bcosB”⇒/“a＝b”，故选A.3．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为()A．10kmB.3kmC．105kmD．107km[答案]D[解析]如图，△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠B＝120°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝102＋202－2×10×20×－12＝700，∴AC＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形[答案]B[解析]sin2A2＝1－cosA2＝c－b2c，∴cosA＝bc，∴b2＋c2－a22bc＝bc，∴a2＋b2＝c2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为()A.54B.2C．1D.32[答案]D[解析]∵sin2A＋cos2B＝1，∴sin2A＝sin2B，∵0A，Bπ，∴sinA＝sinB，∴A＝B.故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1＝－2(cosA－12)2＋32，∵0Aπ2，∴0cosA1，∴cosA＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，那么角C的大小为()A.π3B.π2C.π4D.2π3[答案]C[解析]由正弦定理得，a2－c2＝2ab－b2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，∵0Cπ，∴C＝π4.(理)已知a、b、c是△ABC三内角A、B、C的对边，且A为锐角，若sin2A－cos2A＝12，则()A．b＋c2aB．b＋c≤2aC．b＋c＝2aD．b＋c≥2a[答案]B[解析]∵sin2A－cos2A＝12，∴cos2A＝－12，又A为锐角，∴A＝60°，∴B＋C＝120°，∴b＋c2a＝sinB＋sinC2sinA＝2sinB＋C2cosB－C23＝cosB－C2≤1，∴b＋c≤2a.6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC中，已知cosA＝513，sinB＝35，则cosC的值为()A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665[答案]A[解析]∵cosA＝513，∴sinA＝121335＝sinB，∴AB，∵sinB＝35，∴cosB＝45，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝1665.[点评]在△ABC中，有sinAsinB⇔AB.7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．()A．237B．227C．247D．257[答案]A[解析]如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，∵AC＝DC·sin45°sin15°，∴AB＝AC·sin60°＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC中，∠B＝π3，三边长a、b、c成等差数列，且ac＝6，则b的值是()A.2B.3C.5D.6[答案]D[解析]由条件2b＝a＋c，∴4b2＝a2＋c2＋2ac＝a2＋c2＋12，又cosB＝a2＋c2－b22ac，∴12＝a2＋c2－b212，∴a2＋c2＝6＋b2，∴4b2＝18＋b2，∴b＝6.(理)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23[答案]B[解析]∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又∵c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a×2a＝34.[点评]在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点B、C为焦点，且经过点A的双曲线，若△ABC的内角的对边分别为a、b、c，且a＝4，b＝6，csinAa＝32，则此双曲线的离心率为()A.3＋72B.3－72C．3－7D．3＋7[答案]D[解析]csinAa＝32⇒asinA＝c32＝csinC⇒sinC＝32，因为C为锐角，所以C＝π3，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c＝27∴e＝ab－c＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若PF1→·PF2→＝0，|PF1→|·|PF2→|＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为()A.3－12B.3＋12C．2D.5＋12[答案]D[解析]由条件知，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，根据双曲线定义得：4a2＝(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2－4ac＝4c2－4ac，∴a2＋ac－c2＝0，∴1＋e－e2＝0，∵e1，∴e＝5＋12.(理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tanC2＝12，AH→·BC→＝0，AB→·(CA→＋CB→)＝0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案]A[解析]∵AH→·BC→＝0，∴AH⊥BC，∵tanC2＝12，∴tanC＝2tanC21－tan2C2＝43＝AHCH，又∵AB→·(CA→＋CB→)＝0，∴CA＝CB，∴tanB＝tan180°－C2＝cotC2＝2＝AHBH，设BH＝x，则AH＝2x，∴CH＝32x，AB＝5x，由条件知双曲线中2C＝AH＝2x,2a＝AB－BH＝(5－1)x，∴e＝ca＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，则河的宽度为________米．[答案]60(3－1)[解析]过C点作CD⊥AB于D，设BD＝x，则CD＝x，AD＝120－x，又∵∠CAB＝30°，∴x120－x＝33，解之得，x＝60(3－1)．12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析]如图可知，∠ABC＝60°，AB＝BC，∴AC＝5，∠BAC＝60°，从而∠DAC＝45°，又AD＝32，∴由余弦定理得，CD＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝π3，△ABC的面积等于3，则a＋b＝________.[答案]4[解析]由条件知，12absinπ3＝3，∴ab＝4，∵cosπ3＝a2＋b2－42ab，∴a2＋b2＝8，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝8＋8＝16，∴a＋b＝4.(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积S＝14(b2＋c2－a2)，若a＝10，则bc的最大值是______．[答案]100＋502[解析]由题意得，12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)，∴a2＝b2＋c2－2bcsinA，结合余弦定理得，sinA＝cosA，∴∠A＝π4，又根据余弦定理得100＝b2＋c2－2bc≥2bc－2bc，∴bc≤1002－2＝100＋502.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案]10[解析]设该船的速度为v海里/小时，如图由题意知，AD＝v2，AC＝32v，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v2，解得v＝10.(理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案]mcosαcosβnsin(α－β)[解析]∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴∠AMB＝α－β，由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得BMsin90°－α＝msinα－β，解得BM＝mcosαsinα－β，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcosαcosβsinα－βn，所以α与β满足mcosαcosβnsin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且acosB＋bcosA＝1.(1)求c；(2)若tan(A＋B)＝－3，求CA→·CB→的最大值．[解析](1)由acosB＋bcosA＝1及正弦定理得，csinAsinC·cosB＋csinBsinC·cosA＝1，∴csin(A＋B)＝sinC，又sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC≠0，∴c＝1.(2)∵tan(A＋B)＝－3，0A＋Bπ，∴A＋B＝2π3，∴C＝π－(A＋B)＝π3.由余弦定理得，12＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab＝2CA→·CB→，∴CA→·CB→≤12，当且仅当a＝b＝1时取“＝”号．所以，CA→·CB→的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学