第四章习题解答(4)

4.15（1）证明：Nknjkkeanx0][，Nknjkkebny0][，NknjkNlllkNkNlnlkjlkNknjllNknjkkebaebaebeanynx0000)(][][)(若kFScnynx][][，则有Nlllkkbac。（2）求Nnnx6cos][的FS系数，其中kFSanx][，njnjeeNn003321216cos，有2133bb，)(21333333kkkkNlllkkaaababbac。求rrNnnx][][的FS系数，其中kFSanx][，设kFSrbrNn][，则有Nbk1，NllNllklNlllkkaNbabac1。（3）)(213cos][33njnjeennx，可得2122aa64031][nnny，设kFSbny][，则有12sin127sin121kkbk，12)2(sin12)2(7sin12)2(sin12)2(7sin241)(21222222kkkkbbbababackkkkNllklk（4）由于NlllkkFSbacnynx][][，有NnnjkNlllkkenynxNbac0][][1，取0k，有NnNlllnynxNbac][][10，即NlllNnbaNnynx][][。4.16解：本题中所给信号均为实信号，故频谱一定满足：实部偶对称，虚部奇对称。（1）0)(RejeX，信号][nx应为实奇信号，信号⑤]2[]2[][nnnx以及信号⑦满足该条件；（2）0)(ImjeX，信号][nx应为实偶信号，信号②nnx3][，信号③]1[]1[][nnnx，以及信号⑥满足该条件；（3）0)(deeXjj，由于deeXnxnjj)(21][，该条件即为0]1[x，信号⑤]2[]2[][nnnx满足该条件；（4）0)(0jeX，nnjjenxeX][)(，此条件即为0][)(0njnxeX，信号①][3][nunxn，信号②nnx3][，信号③]1[]1[][nnnx，信号④]3[]1[][nnnx，以及信号⑥满足该条件；（5）存在整数a，使得jajeeX)(是偶函数，根据时域平移性质有jajFTeeXanx)(][，若jajeeX)(是偶函数，则jajeeX)(一定还是实函数（由于][anx是实信号），即][anx为实偶信号，或者][nx经过平移以后可以成为实偶信号。信号②nnx3][，信号③]1[]1[][nnnx，信号④]3[]1[][nnnx，信号⑥以及信号⑦满足该条件；4.17解：)(32sin23sin11)(jjeeX，，令2sin23sin)(1jeX，则有1011][1nnnx，当0时，有32sin23sin)(001jeX，根据DTFT的累加性质有，kjjjFTnkkeXeeXkxnx)2()(1)(][][0111，即1302-11-10][nnnnnx。4.18解：由条件③可得，)2sin(sin])[][(21][jnxnxnxFTo)(21)2sin(sin)(22jjjjjoeeeejeX即21]1[ox，21]1[ox，21]2[ox，21]2[ox，由条件①可得，212]1[2]1[]1[]1[xxxxo，即1]1[x，同理可得，1]2[x，再由条件④可得，6][2)(22njnxdeX，即3][2nnx，故有1]0[2x，结合条件②，可得1]0[x，综上所述有，][]1[]2[][nnnnx。4.19（1）nnnnnycsin*)4sin(][2，c令nnnx)4sin(][1，则有4041)(1jeX，再令221)4sin(])[(][nnnxnx，则在的范围内，2时，0)(jeX，当2时，0)(jeX，令nnnhc)sin(][，则有c01)(cjeH，若要使22)4sin(sin*)4sin(][nnnnnnnyc，则需)()()(jjjeXeHeX，必须取c2。（2）nnnnnnycsin*2cos)4sin(][，nnnx)4sin(][1的频谱0)(1jeX的范围为4，2cos][][1nnxnx的频谱0)(jeX的范围为434，若要使nnnnnnnnnyc2cos)4sin(sin*2cos)4sin(][，必须取c43。4.20解：（1）)()()(1jjeXeX，故有][)1(][][1nxenxnxnjn；（2）dedXeXjj)(2)(2，故有][2][2nxnjnx；（3）dedXeXeXjjj)(2)()(3，故有][)21(][3nxnjnx；（4）)()()(14jjjeXeXeX，故有][)1(1][][][4nxenxnxnxnjn；（5）)()(35jjeXeX，故有][)21(][][35nxnjnxnx；4.21解：)()(][jBAnxFT，有)(][AnxFTe，以及)(][jBnxFTo，故有jFTeeAnx)(]1[，以及)(][BnjxFTo，故有jFToeeABnjxnx)()(][]1[。