高三专题复习-“经典八式”法解滑块与滑板模型

1“经典八式”法解滑块与滑板模型（2017.4.20定稿赵黎晨）一分析要点1、相互作用：滑块之间的摩擦力2、相对运动：具有相同的速度时相对静止。两相互作用的物体在速度相同，但加速度不相同时，两者之间同样有位置的变化，发生相对运动。3、通常所说物体运动的位移、速度、加速度都是对地而言的。在相对运动的过程中相互作用的物体之间位移、速度、加速度、时间一定存在关联。它就是我们解决力和运动突破口。4、求时间通常会用到牛顿第二定律加运动学公式或动量定理：应用动量定理时特别要注意条件和方向，最好是对单个物体应用动量定理求解。5、求位移通常会用到牛顿第二定律加运动学公式或动能定理，应用动能定理时研究对象为单个物体或可以看成单个物体的整体。另外求相对位移时：通常会用到系统能量守恒定律。6、求速度通常会用到牛顿第二定律加运动学公式或动能定理或动量守恒定律：应用动量守恒定律时要特别注意系统的条件和方向。7、当滑块和滑板同向运动时相对位移等于滑块位移与滑板位移之差,若二者同向运动相对位移等于二者位移之和。二分类讲解【模型一】滑块以一定的初速度滑上木板。例题一如图所示，质量kgm3.02的小车静止在光滑的水平面上，车长mL5.1，现有质量kgm2.01的可视为质点的物块，以水平向右的速度smv/20从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数5.0，取2/10smg，求：⑴物块在车面上滑行的时间t；⑵要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度0v不超过多少？【解法一】牛顿运动定律+运动学公式“经典八式”法1m在2m上向右做匀减速直线运动由牛顿第二定律：111-amgm①得21/5sma2m向右做匀加速直线运动由牛顿第二定律：221amgm②得22/310sma设二者历时t时相对静止此时具有共同速度v，则对于1m：tavv10③对于2m：tav2④v02联立③④得stsmv24.0/8.0二者在这段时间内发生的位移分别为1x、2x则对于1m：tvvx201⑤对于2m：tvx22⑥二者的相对位移：21xxx⑦要使物块不从小车右端滑出则Lx⑧联立⑤⑥⑦⑧得smv/50【解法2】（1）设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有vmmvm)(2101①设物块与车面间的滑动摩擦力为F，对物块应用动量定理有011vmvmft②其中gmf1③解得gmmvmt)(2102代入数据得st24.0④（2）要使物块恰好不从车厢滑出，须物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，则vmmvm)(2101⑤由功能关系有2212011)(2121vmmvmgLm⑥代入数据解得smv/5故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车的速度v0′不能超过5m/s。【模型提炼】该模型中对于地面粗糙还需要讨论以下几点：1、二者一定发生相对运动。2、若滑板足够长则最终二者以共同速度匀速直线下去。若滑板板长满足Lx，则滑块会滑离滑板。例题二如图所示，物块A、木板B的质量均为21mmm＝10kg，不计A的大小，B板长L＝3m。开始时A、B均静止。现使A以某一水平初速度从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10m/s2。(1)若物块A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度多大？⑤⑥也可由2021attvx或axvv2202求解因为二者同向运动相对位移为二者位移差且是快的减慢的3(2)若把木板B放在光滑水平面上，让A仍以(1)问中的初速度从B的最左端开始运动，则A能否与B脱离？最终A和B的速度各是多大？【解析】（1）牛顿运动定律+运动学公式“经典八式”法A在B上向右做匀减速直线运动由牛顿第二定律：1111-amgm①得21/3smaB向右做匀加速直线运动由牛顿第二定律：2221211)(amgmmgm②得22/1sma设二者历时t时相对静止此时具有共同速度v，则对于A：tavv10③对于B：tav2④联立③④得4400vtvv二者在这段时间内发生的位移分别为1x、2x则对于1m：tvvx201⑤对于2m：tvx22⑥二者的相对位移：21xxx⑦若物块A刚好没有从B上滑下来则Lx⑧联立⑤⑥⑦⑧得smv/620（2）若地面光滑则②式变为2211amgm此时22/3sma设二者历时t时相对静止此时具有共同速度v，则对于A：tavv10③对于B：tav2④联立③④得stsmv36/6二者在这段时间内发生的位移分别为1x、2x则对于1m：tvvx201⑤得mx314对于2m：tvx22⑥得mx12二者的相对位移：mxxx221⑦Lx⑧即A没有脱离B所以最终A和B的速度为：smv/6【模型提炼】该模型中对于地面粗糙还需要讨论以下几点：1.如果gmmgm)(21211，那么B就不滑动，A在摩擦力作用下在B上面做匀减速直线运动停在B上（B足够长）或直至脱离B。此类情况较为简单一般只在定性分析中才出现。2.如果gmmgm)(21211那么B的合外力不为0要滑动。（1）如果B足够长，经过一段时间t后A、B将会以共同速度一起一起匀减速速最终静止。（2）如果B的长度满足Lx，则A最终将会从B上面滑离。【模型二】滑块受到水平拉力模型例题一如图甲，质量M＝1kg的木板静止在水平面上，质量m＝1kg、大小可以忽略的铁块静止在木板的右端。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，铁块与木板间的动摩擦因数μ2＝0.4，取g＝10m/s2。现给铁块施加一个水平向左的力F。(1)若力F恒为8N，经1s铁块运动到木板的左端。求木板的长度L。(2)若力F从零开始逐渐增加，且木板足够长。试通过分析与计算，在图乙中作出铁块受到的摩擦力f随力F大小变化的图象。【解析】（1）牛顿运动定律+运动学公式“经典八式”法m在M上向左做匀加速直线运动由牛顿第二定律：12-mamgF①得21/4smaM向左做匀加速直线运动由牛顿第二定律：212)(MagMmmg②得22/2sma设历时t时m动到M的左端此时二者速度分别为1v，2v则5对于m：tav11③对于M：tav22④二者在这段时间内发生的位移分别为1x、2x则对于1m：21121tax⑤对于2m：22221tax⑥二者的相对位移：21xxx⑦m从一端运动到另一端，则Lx⑧得mL1。（2）当F≤μ1(m＋M)g＝2N时，系统没有被拉动，静摩擦力f与外力F大小相等，即f＝F。当F＞μ1(m＋M)g＝2N时，如果M，m相对静止，铁块与木板有相同的加速度a，则F－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，F－f＝ma，解得F＝2f－2，此时f≤μ2mg＝4N，也即F≤6N，所以当2N＜F≤6N时，f＝F2＋1。当F＞6N时，M，m相对滑动，此时铁块受到的摩擦力为f＝μ2mg＝4N，f­F图象如右图所示。例二如图所示，可看作质点的小物块放在长木板正中间，已知长木板质量为M＝4kg，长度为L＝2m，小物块质量为m＝1kg，长木板置于光滑水平地面上，两物体皆静止。现在用一大小为F的水平恒力作用于小物块上，发现只有当F超过2.5N时，两物体间才能产生相对滑动，设两物体间的最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，重力加速度g取10m/s2。(1)求小物块和长木板间的动摩擦因数。(2)若一开始力F就作用在长木板上，且F＝12N，则小物块经过多长时间从长木板上掉下？解析(1)设两物体间的最大静摩擦力为fm，当F＝2.5N作用于小物块时，对整体，由牛顿第二定律有F＝(M＋m)a对长木板，由牛顿第二定律有fm＝Ma联立可得fm＝2N小物块在竖直方向上受力平衡，所受支持力N＝mg，由摩擦力性质有fm＝mg6解得μ＝0.2。(2)F＝12N作用于长木板时，两物体发生相对滑动，设长木板、小物块加速度分别为a1、a2对长木板，由牛顿第二定律有F－fm＝Ma1，解得a1＝2.5m/s2对小物块，由牛顿第二定律有fm＝ma2，解得a2＝2m/s2由匀变速直线运动规律，两物体在t时间内的位移为s1＝12a1t2，s2＝12a2t2小物块刚滑下长木板时s1－s2＝12L，联立解得t＝2s。【模型提炼】该模型中需要讨论以下几点：1、M滑动的条件是gMmmg)(122、M滑动又可以分为（1）若MgMmmgmmgF)(-212此时二者相对静止一起加速，加速度可有整体法求出。aMmgMmF)()(23、由于二者均做加速运动，此类问题不出现共速状态。【模型三】滑板受到水平拉力模型例题一如图所示，光滑水平面上有一木板，质量kgM0.1，长度mL0.1．在木板的最左端有一个小铁块（可视为质点），质量kgm0.1．小铁块与木板之间的动摩擦因数0.30．开始时它们都处于静止状态，某时刻起对木板施加一个水平向左的拉力F，2/10smg．求：（1）拉力F至少多大能将木板抽出；（2）若NF8将木板抽出，则抽出过程中摩擦力分别对木板和铁块做的功．【解析】（1）木板能够被抽出则对小铁块由牛顿第二定律：1mamg①对木板由牛顿第二定律：2MamgF②得若木板能被抽出：12aa③即gmMF)(④解得NF6。（2）设经历时间t木板被抽出此时二者的位移分别为1x、2x由①②可得21/3sma、22/5sma则二者均向左做匀加速直线运动7F对于m：21121tax⑤对于M：22221tax⑥二者的相对位移：12xxx⑦m从一端运动到另一端，则Lx⑧⑤⑥⑦⑧得st1代入⑤⑥得mx5.11、mx5.22摩擦力对m做的功JmgxWf5.411⑨摩擦力对M做的功JmgxWf5.-7-12⑨例二如图所示，长mL5.1、质量kg3M的木板静止放在水平面上，质量kg1m的小物块（可视为质点）放在木板的右端，木板和小木块间的动摩擦因数.101，木板与地面间的动摩擦因数.202。现对木板施加一水平向右的拉力F，取2m/s10g，求：（1）使小物块不掉下木板的最大拉力0F（小物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。（2）如果拉力N21F恒定不变，小物块所能获得的最大动能。【解析】（1）要使小物块不掉下木板则二者具有相同加速度21aa对小物块由牛顿第二定律：11mamg①得21/1sma对木板由牛顿第二定律：220)MagMmF（②解得NF120。（3）拉力12NN21F二者相对滑动-------‘经典八式’对木板由牛顿第二定律：221)MagMmmgF（③得22/4sma二者均向右做匀加速直线运动。设经历时间t小物块脱离木板此时二者的位移分别为1x、2x，速度分别为1v、2v。对于m：21121tax④对于M：22221tax⑤二者的相对位移：12xxx⑦m从一端运动到另一端，则Lx⑧82mmF图1图21213t/s00.4F/mg1.5④⑤⑥⑦得st1此时对于m：smtav/11，JmvEk5.0212。【模型提炼】1、二者是否相对滑动的临界条件是加速度相等（1）当gMgMmmgF121)（则二者不发生相对滑动，此时运用整体法求加速度即：amMgmMF)()(2。（2）当gMgMmmgF121)（则二者不发生相对滑动应用八式解题即可。（3）由于二者都做加速运动不会出现高速状态。例三图l中，质量为m的物块叠放在质量为2m的足够长的木板上方右侧，木板放在光滑的水平地面上，物块与木板之间的动摩擦因数为＝0.2．在木板上施加一水平向右的拉力F，在0~3s内F的变化如图2所示，图中F以mg为单位，重力加速度210m/sg．整个系统开始时静止．(1)求1s、1.5s、