第四章函数的连续性

第四章函数的连续性1．用定义证明下列函数在定义域内连续：(1)yx；(2)1yx；(3)||yx；(4)1sinyx.2．指出下列函数的间断点并说明其类型：(1)1()fxxx；(2)2()(1)xfxx；(3)21()cosfxx；(4)()[][]fxxx；(5)sin()||xfxx；(6)()sgn|fxx；(7)()sgn(cos)fxx；(8)()lnfxx；(9),||1,()1,|1xxfxx；(10)cos,||1,()21,|1xxfxxx；(11)sin,,()0,xxfxx为有理数为无理数；(12),,(),xxfxxx为有理数为无理数.3．当0x时下列函数无定义，试定义(0)f的值，使()fx在0x连续：(1)31()11xfxx；(2)tan2()xfxx；(3)1()sinsinfxxx；(4)()xfxx.4．设()fx是连续函数，证明对任何0c，函数,(),()(),(),,()cfxcgxfxfxccfxc是连续的.5．若()fx在0x点连续，那么()fx和2()fx是否也在0x点连续？反之如何？6．若函数()fx字0x点连续，而()gx在0x点不连续，问此二函数的和、积在0x点是否连续？又若()fx和()gx在0x点都不连续，问此二函数的和、积在0x点是否必不连续？7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.8．若()fx在[,]ab连续，恒正，按定义证明1()fx在,ab连续.9．若()fx和()gx都在[,]ab连续，试证明max(()())fxgx和min(()())fxgx都在[,]ab连续.10．证明：设()fx为区间(,)ab上单调函数，若0,xab为()fx的间断点，则必是()fx的第一类间断点.11．若()fx在[,]ab,12naxxxb，则在12[,]xx中必有，使得12()[()()()]nffxfxfxn.12．研究复合函数fg和gf的连续性.设(1)2()sgn,()1fxxgxx；(2)2()sgn,()1)fxxgxxx.13．证明：若()fx在[,]ab连续，且不存在,]xab，使()fx，则()fx在[,]ab恒正或恒负.14．设()fx为[,]ab上的递增函数，值域为[(),()]fafb，证明()fx在[,]ab上连续.15．设()fx在[,)a上连续，且0()(0)fxxx，若10a，1()(1,2,)nnafan.求证：(1)limnna存在；(2)设limnnal，则()fll；(3)如果将条件改为0()(0)fxxx，则0l.16．求下列极限：(1)1111lim2xxxxx；(2)1limarctancosxxx；(3)210lim(cos)xxx；(4)20cos5lim1ln(1)xxexxx.17．证明方程30(0)xpxqp有且只有一个实根.