第四节几种特殊类型函数的积分

第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）1第四节几种特殊类型函数的积分要求：会求有理分式为简单分式之和，并且会计算简单有理函数，简单三角有理函数的积分。重点：有理函数的积分方法。难点：较复杂三角有理函数的积分。作业：习题4－4（268P）*1,5,7,913,17,20,21,22下面讨论几种比较简单的特殊类型函数的积分．一、有理函数积分有理函数设两个多项式nnnaxaxaxP110)(，mmmbxbxbxQ110)(其中nm,为正整数，系数为实数，0,000ba．有理函数)()()(xQxPxR按分子、分母的最高次数nm,的不同可分三种：（1）当0m时，)(xR是一个多项式，称有理整函数；（2）当nm时，)(xR是有理真分式（总假设)()(xQxP、不可约）；（3）当nm时，)(xR是有理假分式．有理整函数积分会求，对有理假分式可用多项式除法化为多项式与真分式之和．因此要解决有理函数的积分问题，只要解决有理真分式积分就可以了．首先看一个事实，有理真分式的和仍为有理真分式，有理真分式可以化为简单分式之和．如xxxxxx3312113，所以解决有理真分式积分问题，首先要将真分式分解成简单分式之和形式．从上例看出简单分式的分母都是xx3的因子，因此真分式的分解问题从分母入手．1．真分式的分解设多项式)(xQ在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积为)()()()()(220srxxqprxbxaxbxQ（其中040422srqp，，），那么真分式)()(xQxP可以分解成如下部分分式（简单分式）之和：122()()()()AAAPxQxxaxaxa第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）2122()()BBBxbxbxb11222222()()MxNMxNMxNxpxqxpxqxpxq11222222()()()RxSRxSRxsxrxsxrxsxrxs．其中111111,,,,,,,,,,,,,,,,,AABBMMNNRRSS都是常数．注意（1）分母)(xQ中，如果有因子kax)(，那么分解后有下列k个部分分式之和122()()()kkAAAxaxaxa，特别当1k时，分解后只有一项axA．如3123231(2)2(2)(2)AAAxxxx；（2）分母)(xQ中如果有因子kqpxx)(2（042qp），那么分解后有下列k个部分之式之和11222222()()kkkMxNMxNMxNxpxqxpxqxpxq，如222221122)1(1)1(1xxNxMxxNxMxx；（3）这种分解式是唯一的，在实际应用中，注意分解式的形式和规律；（4）部分分式有四种形式：①xA，②kxB)(，③qpxxNMx2，④kqpxxNMx)(2．因此有理真分式积分问题可归纳为两点（1）依分解定理将真分式化为部分分式之和后如何确定各常数；（2）四种部分分式积分如何计算．2．真分式的分解举例例1．分解2)1(1xx为部分分式．第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）3解因为1)1()1(122xCxBxAxx，去分母，得)1()1(12xCxBxxA（*）令0x，得1A；令1x，得1B，将BA,代入（*）中，并再令2x，有C2211，即1C，于是11)1(11)1(122xxxxx．此种确定A,B,C值的方法称赋值法，上例中的方法称比较系数法．例2．分解223)1(32xxx为部分分式．解因为1)1()1(32222223xDCxxBAxxxx，去分母，得)1)(()(3223xDCxBAxxx)()(23DBxCADxCx，比较系数23Cx：；02Dx：；1,11ACAx：；3,30BDBx：，得12)1(3)1(32222223xxxxxxx．3．部分分式的积分（1）ln||AdxAxCx，（2）11()1()kkBBdxCxkx（3）2222)2()2()(2apxpxdBqpxxqpxxdMdxqpxxNMx，因为BpxMBpxMMpNpxMNMx)2(21)2(21)2(，其中MpNB21．第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）4又因为22222)2(4)2(apxpqpxqpxx，42pqa，所以22222)2()2()(2apxpxdBqpxxqpxxdMdxqpxxNMx22ln()arctan22MBxpxpxqCaa．例如3253222233223222xxdxdxxxxdxxxx222)2()1()1(5)32ln(23xxdxx2351ln(23)arctan222xxxC．（4）dxqpxxNMxn)(2)1(n．分母配方，得)4()2(222pqpxqpxx，因为042qp，所以042pq，设42pqa，令2pxt，2ptx，dtdx，于是dtatNptMdxqpxxNMxnn)()2()(222dtatMpNMtn)()2(22nnatdtMpNattdtM)()2()(2222．4．有理函数积分例3．计算不定积分2)1(xxdx．解因为11)1(11)1(122xxxxx，第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）5所以2)1(xxdx1)1(12xdxxdxdxx1ln||ln|1|1xxCx．例4．计算不定积分dxxxx223)1(32．解dxxxx223)1(32dxxxdxxx12)1(3222)1ln()1(6221222xdxxx)1ln()1(3)1()1(21222222xxdxxxd222111ln(1)3[arctan]2(1)212xxxCxx．从上述例子不难看出，有理函数积分的结果不外乎是有理函数、对数函数、反三角函数，即有理函数的原函数为初等函数．例5．计算不定积分dxxxxx48345．解因为xxxxxxxxxx48164448322345，又224816432xCxBxAxxxx)2()2()4(816422xCxxBxxAxx令0x，得2A；令2x，得5B；令2x，得3C．所以23252)2)(2(81642xxxxxxxx．于是dxxxxx48345=dxxxxxx)232524(2321142ln||5ln|2|3ln|2|32xxxxxxC．例6．计算不定积分dxxx1002)1(．第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）6解dxxx1002)1(dttttdttttx10021002112)()1(dttdttdtt10099982979899121979899tttC97989911111197(1)49(1)99(1)Cxxx另一种方法，dxxx1002)1(dxxxxdxdxxx991001002)1(1)1()1(11dxxxxdx99100)1(21)1(9998100)1(2)1()1(xdxxdxxdx．二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数．由于各种三角函数都可用xsin及xcos的有理式表示，故三角函数有理式就是xxcos,sin的有理式，记作)cos,(sinxxR．例如)cos1(sinsin1xxx，23tansinsecxxx．1．万能代换例1．计算不定积分dxxxx)cos1(sinsin1．解令txxtarctan2,2tan，212tdtdx，则22222sin2tan1222sin2sincoscos2tan2221cossec1tan222xxxxxtxxxxxt，22222222222sin1tan1tan1222coscossincos(1)2221cossec1tan222xxxxxxtxxxxt，第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）7即212sinttx，2211costtx，212tdtdx，于是dxxxx)cos1(sinsin12222212)111(12121tdtttttttdttt)12(21=21ln4tttC211tantanln|tan|42222xxxC．说明变量代换2tanxt对三角函数有理式的积分都可以应用，即三角函数有理式的积分dxxxR)cos,(sindttttttR222212)11,12(，化为有理式积分，但是得到的有理函数积分往往比较繁，因此这种代换不一定是最简单的代换．例2．计算不定积分dxxcos531．解dxxcos531tan2222211351xtdtttt24dtt2tan1212ln||ln||4242tan2xtCCxt2cossin122ln||42cossin22xxCxx．例3．计算不定积分xbxadx2222cossin)0(ab．解xbxadx2222cossin)(cos)tan(12222xdxbxa)(1)(tantan122222222abtdtaabxxda21arctanaatCabb第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）81arctan(tan)axCabb．2．非三角有理函数的积分例4．计算不定积分dxxxxcos1sin．解被积函数不是三角有理式，所以不可用万能代换，因此用分部积分法计算．因为dxxxxcos1sindxxxxdxxxdxxxx2cos22cos2sin22cos22cos2sin222所以，设,xu2cos22xdxdv；则2tan,xvdxdu，于是dxxxxcos1sindxxxxdxxxdxxxx2cos22cos2sin22cos22cos2sin222dxxxdxxxx2cos2sin2tan2tantan2xxC．例5．计算不定积分dxxxx3sincos．解被积函数非三角有理式，用分部积分法计算．设xu，xvdxdudxxxdv23sin21,,sincos则，于是dxxxx3sincosxdxxx22sin21sin221cot2sin2xxCx三、简单无理函数积分表达式中出现根式的函数叫无理函数．如3231xx，)1(13xx，5612xx，只讨论),(nbaxxR，及),(necxbaxxR这两类函数积分．主要目的就是去掉根号，变为有理函数的积分．1．形如dxbaxxRn),(的积分第四章不定积分（§4几种特殊类型函数的积分）9令ntbax，则)(1btaxn，dtantdxn1，于是dtanttbtaRdxba