第四节函数的单调性和曲线的凹凸性

高等数学(1)标准化作业―15班级姓名学号37第四节函数的单调性和曲线的凹凸性一、填空题1.设2()2fxxx，则它在区间1,2内单调减少，在0,1内单调增加.2.曲线exyx的拐点为22,2e.3.曲线523539yxx的凹区间为,2和3,.提示：由0y得2x，且当,2x时，0y；又3x为二阶导数不存在的点，且当3,x时，0y二、单项选择题1．函数fx在,ab内可导，则在,ab内0fx是函数fx在,ab内单调增加的B.A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.无关条件2.设23211fxxx，则fx的单调递减区间为A.A.2,13B.2,,1,3C.,1D.2,33.若点00,xfx是曲线yfx的拐点，则C.A.必有0fx存在且等于零B.必有0fx存在但不一定等于零C.如果0fx存在，必等于零D.如果0fx存在，必不等于零4.若点1,0是曲线322yaxbx的拐点，则B.A．1,2abB.1,3abC.0,3abD.2,2ab提示：232,yaxbx62yaxb由题意知，(1)620yab，(1)20yab1,3ab5．B，提示：由0fx得，函数fx单高等数学(1)标准化作业―15班级姓名学号38调递增，从而1100,fffff0,15.设在[0,1]上，()0fx，则(1),(0),(1)(0)ffff和(0)(1)ff的大小顺序为B.A．(1)(0)(1)(0)ffffB.(1)(1)(0)(0)ffffC.(1)(0)(1)(0)ffffD.(1)(0)(1)(0)ffff提示：由0fx得，函数fx单调递增，从而1100,fffff0,16.方程532340xaxbxc，满足2350ab，则该方程B.A．无实根B.有唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同实根提示：令53234fxxaxbxc，则当x时fx，当x时fx，由零点定理得，至少有一点,c，使得0fc,即方程有根．又42563fxxaxb，令0fx得判别式22366012350abab，从而0fx，即fx单调递增，从而原方程有唯一实根.三、解答题1.确定下列函数的单调区间.（1）82yxx解：函数的定义域为,00,，282yx，令0y得驻点122,2xx.列表确定函数的单调区间如下：高等数学(1)标准化作业―15班级姓名学号39从而函数82yxx在区间,2和2,上单调递增，在区间2,0和0,2上单调递减．（2）23(1)yxx解：函数定义域为,，3523xyx，令0y得驻点25x，0x为不可导点；列表确定函数的单调区间如下：故函数231yxx在区间,0和2,5上单调递增，在区间20,5上单调递减．2.证明：当02x时，sintan2xxx.证明:令sintan2,0,2fxxxxx则222211cossec2cos2cos0coscosfxxxxxxx；x(,2)2(2,0)(0,2)2(2,)y+0--0+yfx88x(,0)02(0,)5252(,)5y+不存在-0+yfx高等数学(1)标准化作业―15班级姓名学号40从而fx在区间0,2上单调递增，即0,2x，有00fxf；故sintan2xxx，0,2x．3.列表求曲线2ln(1)yx的拐点和凹凸区间.解：221xyx，222111xxyx；令0y得121,1xx4.证明方程sinxx只有一个实根.证明：令sinfxxx，显然0x是方程sinxx的一个实根．又cos10,fxxx，所以fx在,上单调递减；即：方程sinxx只有一个实根．x,111,111,y－0+0－yfx的图形凸拐点1,ln2凹拐点1,ln2凸