直线的投影.

上讲要点回顾HVXZYWOaaaA空间点用大写字母(如A、B、…)表示。在水平投影面上的投影称水平投影,用相应小写字母(如a、b、…)表示。在正立投影面上的投影称正面投影,用相应小写字母加一撇(如a′、b′、…)表示。在侧立投影面上的投影称侧面投影,用相应小写字母加两撇(如a″、b″、…)表示。规定：投射方向投射方向投射方向axazayaaaXOZYWYH注：因为平面是无限大的，所以一般不画出平面边框。点的投影遵循：“长对正、高平齐、宽相等”一、点的三面投影空间一般点点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点点的某一个坐标为零，其一个投影与该点本身重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点点的两个坐标为零，其两个投影属于所在投影轴，与该点本身重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。二、各种位置点的投影Aa=aax=aay=azO=xAa=aax=aaz=ayO=yAa=aaz=aay=axO=zaaoxaaozHVXZYWOayaxazxyzaaaHaaaVWXOZYWYHaxayazayAzzzxxxyyyy三面投影面体系中点的投影规律三、点的距离两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。两点的相对位置一定要以其中一点作为参照物。根据一个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。四、两点的相对位置五、重影点若两点位于某投影面的同一条垂直投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，此两点称为该投影面的重影点。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见（在上、在前、在左的点可见），不可见点的投影加括号表示。XOZY一、求直线的投影aaabbbXZYWYHOaaabbbAB直线的投影可由属于直线上任意两点的投影来决定。作图时先作出直线上任意两点的投影,然后作两点同面投影的连线即可。OXZYABbbabaa二、直线与投影面的倾角把直线延长到与投影面相交，与投影面所产生的夹角叫做直线与投影面的倾角。直线对H面的倾角-直线对V面的倾角-直线对W面的倾角-直线的位置一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线特殊位置直线投影面平行线只平行于一个投影面的直线投影面垂直线只垂直于一个投影面的直线铅垂线⊥H正垂线⊥V侧垂线⊥W水平线∥H正平线∥V侧平线∥W三、各种位置的直线②投影特性：a.在直线平行的投影面上是反映实长的斜线，并反映与另二投影面的倾角。b.另二投影面是缩短的直线，分别平行于两个轴③判断平行线：在直线的三面投影中：一个投影是斜线两个投影平二轴此线定为平行线平行斜线所在面1、投影面平行线①空间位置：平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面②投影特性：a.在直线垂直的投影面上积聚为一个点b.另二投影面都是反映实长的直线，并同时平行于一轴③判断垂直线：在直线的三面投影中：一个投影是一点两个投影平一轴此线定为垂直线垂直一点所在面2、投影面垂直线①空间位置：垂直于一个投影面，平行于另两个投影面①空间位置：与三投影面都倾斜②投影特性：a、三个投影都是小于SC的斜线b、三个投影都是倾斜于投影轴c、不反映与三个投影面夹角（α、β、γ）的真实大小③判断：根据三投影中斜线的数量来判断平面：“无垂、一平、三一般”3、一般位置直线直线上的点具有两个特性：（点在直线上必须满足两点）从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb根据这两个特性,我们可以判断一个点是否属于一条直线，也可以求属于线上点的投影。四、属于直线的点ABbbaaXOccCc直角三角形的四要素：实长、倾角、投影长、坐标差。四个要素中只要知道任意两个要素，均可求得另外两个要素，但须清楚诸要素之间的关系。注意投影长、坐标差、倾角均对同一投影面坐标差△X实长投影W面投影a〝b〝倾角直角三角形法坐标差△Y投影V面投影a′b′倾角坐标差△Z投影H面投影ab倾角用细实线画直角三角形（不是画直角三角形的投影，而是一个几何作图的方法）☆五、一般位置直线的实长和倾角【思考题】已知AB=BC，完成BC投影。b´a´c´abscc分析：从已知条件中可以知道，AB、BC均为一般位置直线，在投影中均不能反映真实的长度。由于AB的两面投影都知道，可以利用直角三角形法求出AB、BC的实长，又知道BC的一个投影，再次利用直角三角形法求出BC的另一个投影。投影作图：•根据∆ZAB—ab—SC求出AB实长•根据∆YBC—b´c´—SC求出∆YBC本讲难题第二章第二部分直线的投影（2）六、两直线的相对位置以下分别讨论它们的投影特性。两直线的相对位置平行相交相叉(即异面)1、平行的两直线(1)两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影均相互平行，则此二直线平行。(2)平行两线段之比等于其同面投影之比。XABCDbaadbdccabXbadcdc•对于两条一般直线，只要任意两组同面投影相互平行，则空间两直线平行。•对于投影面平行线，则需要根据第三个投影或者比例法、指向法来判别。平行线的判别首先观看两侧平线各投影字母顺序是否一致，不一致者肯定是交叉二线，一致者再作图判断。主要方法•指向法•补W投影•比例法oYWYHz判断两直线AB和CD是否平行Xaacddcbbabcd不平行空间两垂直线平行ADCBa(b)c(d)当互相平行的两直线垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影(积聚为两点),反映它们在空间的真实距离。两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影均相交，且交点属于两直线，或者说同面投影的交点连线均垂直于相应投影轴，则该两直线相交。bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkk2、相交的两直线空间两特殊直线相交XZOYHYWaa'cdbd'c'b'adbc同平行的两直线一样，对于一般位置的两直线，只根据水平投影及正面投影的相对位置，就可判别它们在空间是否相交。但是对于其中有一条是侧平线的两直线，则必须考察它们的侧面投影是否相交。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。bXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)213、相叉的两直线判断交叉两直线重影点的可见性判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。投影图中通常可从重合投影处开始，向上或向下（或向左）作投影连线，先遇到的点，坐标值较小，应加括号。XOBDACbbaa′ccdd341243ⅢⅣ12ⅠⅡ()()判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa34341212()()zoYWYHXaacddcbb1′2′()23()【例1-9】判断两直线的相对位置。dacb补W投影判断二线交叉3″1″2″(判别重影点的可见性。)V投影重影处一般位置线在前;H投影重影处侧平线在上。（）baacddcbXO2（）【例1-9】判断两直线的相对位置。用定比性判别重影点的可见性同前。V面投影重影处一般位置直线在前，侧平线在后。H面投影重影处一般位置直线在下，侧平线在上。点Ⅰ、Ⅲ属于侧平线;点Ⅱ属于一般位置直线。•判别重影点的可见性•定比判断﹕两直线交叉1′3′12判别前后判别上下3XZOYHYWa′c′b′abc【例1-10】过点A作直线与直线BC及OZ轴相交。(表示方法1)还可换成（…与OX或OY轴相交）ee′因OZ是铅垂线，水平投影积聚成点,位置在O处，所以应先过a作水平投影。分析：XZOYHYWa′c′b′abc【例1-10】过点A作直线与直线BC及Z轴相交。(表示方法2)ee′dd′m′m直线AD的AM段在Ⅰ分角，MD段在Ⅳ分角。七、直角投影定理定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在某一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。直角投影定理若空间二直线相互垂直（相交或交叉）其中只要有一条直线平行于某一投影面，则此二直线在该投影面上的投影相互垂直；反之，若二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且只要其中一直线平行于该投影面，则此二直线在空间必然垂直。或者叙述为若直角有一条边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影反映直角。…AHBCcb垂直相交的两直线的投影HcXb′a′c′baAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac已知：AB⊥AC，AB∥H面求证∠cab﹦90°证明：AB∥H而Aa⊥H∴AB⊥Aa又AB⊥AC∴AB⊥CcaA平面∵AB∥ab∴ab⊥CcaA故ab⊥bc∴∠abc﹦90°aDEe(d)()c′e′e(d)()交叉垂直的两直线的投影BHAbaMNnmXbabamnnmAB垂直于MN,且AB平行于H面,则有abmn【例1-11】过点A作EF线段的垂线AB。bb′a′aOfe′ef′X∵包含A点的P平面⊥EF,∴P平面上过A点⊥EF的直线有无数的解!相叉垂直APEFf【例1-12】过点E作线段AB、CD的垂线EF。fOcbaabXcddee注意:∵EF不是AB、CD的公垂线,∴投影中垂直相交处上下不对正【例1-13】作已知线段AB、CD的公垂线EF的投影及实长。a′(b′)abcdd′c′（e）eff分析:注意公垂线∵EF⊥AB(AB⊥V)∴EF∥V又∵EF⊥CD而EF∥V∴e′f′⊥c′d′ef∥X轴【例1-14】作已知线段AB、CD公垂线EF的投影及实长。Ocbaa(b)Xcdd分析:注意公垂线∵EF⊥AB(AB⊥H)∴EF∥H又∵EF⊥CD而EF∥H∴ef⊥cde′f′∥X(e)eff【例1-15】求作AB、CD间的公垂线的投影及实长。分析：AB、CD都为水平线。根据直角投影定理，水平线在H面上能反映直角。因此公垂线的水平投影能直接求出。由于公垂线MN为一般位置直线，所以还应用直角△法求实长。d′c′b′a′abcdmnm′n′Nz–MzScABb【例1-16】作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcbc=BCnmaaXmnc【例1-17】已知BC与AB垂直，BC等于定长L，点C属于H面，a′b′∥ox，求作BC的V、H投影。aba′b′LZB-ZCcc′cc′分析由已知条件可知：AB∥H面，H投影中反映直角即直线AB⊥BC→投影ab⊥bc。又点C属于H面，即ZC=0，则ZB-ZC能确定，以实长L作直角三角形求得BC的H投影长。投影作图•过b作ab的垂线•以定长L为斜边，以ZB-ZC为直角边作直角三角形，求出bc长度•完成BC的V、H投影。两解本讲较难题bca′b′c′ab分析：依据等边三角形的边长及坐标差可求未知边的投影长，C点在H面上，即C点的Z坐标等于0，就知道了ZAC、ZBC。投影作图：•求SCAB。•用SCAB和ZA、ZB求得ac、bc投影长。•分别以a、b为圆心，相应的投影长为半径画圆弧相交于点c。•由c求得c′，完成全图。【例1-18】以AB为边作等边△ABC，使顶点C在H面上。本题有两解YABZBCbc