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考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!声明:本资料由考试吧(Exam8.com)收集整理,转载请注明出自服务:面向校园,提供计算机等级考试,计算机软件水平考试,英语四六级,研究生考试等校园相关考试信息。特色:提供历年试题,模拟试题,模拟盘,教程,专业课试题下载等。资料丰富,更新快!考试交流论坛:考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!服务:面向较高学历人群,提供计算机类,外语类,学历类,资格类,四大类考试的全套考试信息服务.特色:极力推崇人性化服务!让您最便捷的在最短时间内得到对您最有价值考试信息!坚持每日更新!!!第四讲数字特征与极限定理考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.2.会根据随机变量X的概率分布求其函数)(Xg的数学期望)(XEg;会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数),(YXg的数学期望),(YXEg.3.了解切比雪夫不等式.4.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的大数定律)5.了解棣莫弗—拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维—林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理);(经济类还要求)会用相关定理近似计算有关随机事件的概率一、数学期望与方差(标准差)1.定义(计算公式)离散型iipxXP,iiipxXE)(连续型)(~xfX,xxxfXEd)()(方差:222)()())(()(XEXEXEXEXD标准差:)(XD,2.期望的性质:1°)())((,)(XEXEECCE考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!2°)()()(2121YECXECYCXCE3°)()()(YEXEXYE,YX则独立与若4°)()(≤)(222YEXEXYE3.方差的性质:1°0))((,0))((,0)(XDDXEDCD2°)()()(YDXDYXDYX相互独立,则与3°)()(2121XDCCXCD4°一般有),Cov(2)()()(YXYDXDYXD)()(2)()(YDXDYDXD5°2()()CDXEX,)(XEC【例1】设试验成功的概率为43,失败的概率为41,独立重复试验直到成功两次为止.试求试验次数的数学期望.【例2】n片钥匙中只有一片能打开房门,现从中任取一片去试开房门,直到打开为止.试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差:(1)试开过的钥匙即被除去;(2)试开过的钥匙重新放回.【例3】设随机变量X的概率密度为.,0,0,2cos21)(其他xxxf对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于3的次数,求2Y的数学期望.考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!【例4】设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼,电梯在中途只下不上,每个乘客在哪一层(2-11层)下是等可能的,且乘客之间相互独立,试求电梯须停次数的数学期望.二、随机变量函数的期望(或方差)1、一维的情形)(XgY离散型:{}iiPXxp,iiipxgYE)()(连续型:~()XfxxxfxgYEd)()()(2、二维的情形),(YXgZ离散型ijiipyYxXPYX,~),(,jijjiipyxgZE),()(连续型),(~),(yxfYX,yxyxfyxgZEdd),(),()(【例5】设X与Y独立且均服从N(0,1),求Z=22YX的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N(0,21),试求Z=|X-Y|的数学期望与方差.三、协方差,相关系数与随机变量的矩1、重要公式与概念:协方差))()((()Cov(YEYXEXEX,Y考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!相关系数)()()Cov(YDXDX,YXY)(kXEk阶原点矩kXEXEk))((阶中心矩2、性质:1°),(Cov),(CovXYYX2°),(Cov),(CovYXabbYaX3°),(Cov),(Cov),(Cov2121YXYXYXX4°|(,)|1XY5°1)(1),(baXYPYX)>0(a1)(1),(baXYPYX)<0(a3、下面5个条件互为充要条件:(1)0),(YX(2)0)Cov(X,Y(3))()()(YEXEXYE(4))()()(YDXDYXD(5))()()(YDXDYXD【例7】设)2(,,,21nXXXn为独立同分布的随机变量,且均服从)1,0(N,记niiXnX11,.,,2,1,niXXYii求:(I)iY的方差niYDi,,2,1),(;(II)1Y与nY的协方差),(1nYYCov;(III)}.0{1nYYP四、极限定理1.切比雪夫不等式()()|()|,|()|1-22DXDXPXEXPXEX或2.大数定律考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!3.Poisson定理4.中心极限定理列维—林德伯格定理:设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布,且2(),(),iiEXDX1,2,,,in,则对任意正数x,有2-121limed2ntixinXnPxtn棣莫弗—拉普拉斯定理:设~(,),nBnp(即X1,X2,…,Xn,…相互独立,同服从0一1分布)则有221limed(1)2txnnnpPxtnpp.【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金,已知这批债券共发放了500张,每张须付本息1000元,设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】若X为该日到银行领取本息的总人数,则所需现金为1000X,设银行该日应准备现金x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换,则P(1000X≤x)≥0.999.【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数,则X~B(500,0.4)所需支付现金为1000X,为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换,设银行该日应准备现金x元,则P(1000X≤x)≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知:(1000)()1000xPXxPX5000.45000.410005000.40.65000.40.6xXP200200000120200030Xx2000000.999(3.1).200030x考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!即2000003.1,200030x得x≥233958.798.因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.声明:本资料由考试吧(Exam8.com)收集整理,转载请注明出自服务:面向校园,提供计算机等级考试,计算机软件水平考试,英语四六级,研究生考试等校园相关考试信息。特色:提供历年试题,模拟试题,模拟盘,教程,专业课试题下载等。资料丰富,更新快!考试交流论坛:考试吧(Exam8.com)-第一个极力推崇人性化服务的综合考试网站!服务:面向较高学历人群,提供计算机类,外语类,学历类,资格类,四大类考试的全套考试信息服务.特色:极力推崇人性化服务!让您最便捷的在最短时间内得到对您最有价值考试信息!坚持每日更新!!!
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