第四讲能量与动量

4—1第四讲能量与动量一、竞赛内容提要：1、动量：冲量，动量，动量定理，动量守恒定律，反冲运动及火箭。2、机械能：功和功率，动能和动能定理，重力势能，引力势能，质点和均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求推导），弹簧的弹性势能，功能原理，机械能守恒定律，碰撞。二、扩充的知识（一）功和功率1、功物体在恒力作用下产生了位移S，则力F对物体所做的功为：W=F·Scosθ，其中是F的S的夹角。对于同一个运动，在不同的参照系中，因为位移不同，所以功的数值也不同，但一对作用力与反作用力做功之和只与它们的相对位移和力的大小有关，所以在计算一对作用力和反作用力做功的和时，可选一个方便的参照系来计算，这个参照系是否惯性的都可以。当物体不能被看作是质点时，物体位移与力的作用点的位移可能不相等，如在半径为R的圆柱体上缠绕着一根轻绳，当施一水平恒力拉绳，使圆柱体在水平地面上无滑动地滚一周时，力F所做的功是F·4πR而非F·2πR。2、功率P=W/t（平均功率）或P=FVcosα（平均或即时功率，其中α是F与V之间的夹角）。例1．如图，在水平恒力F作用下，A、B相对静止地向前运动，通过位移S，则以地为参照，力F所做的功为。以B为参照，力F所做的功为。例2．倾角θ＝30˚的斜面顶部放一质量为m的木块，当斜面水平向右匀速运动S＝L／2cosθ时，木块沿斜面匀速滑到底部，求作用在木块上的各力在此过程中所做的功。例3．一支灌溉水枪需均匀喷撒半径为12m的农田，已知从6m深水井中每分钟抽出80升水喷出，试求水泵的电机功率。（二）动能定理W合＝EK2－EK1（对质点）。若对象为物体系（质点系），则动能定理应表示为：物体系动能的增量，等于作用于物体系的所有外力和内力所做的功的代数和。即∑EK2－∑EK1=∑W外+∑W内。若内力是静摩擦力，则一对静磨擦力所做的功恒为零，若内力是滑动磨擦ABFVALCSθBD4—2力，则一对滑动磨擦力所做的总功的量值等于f·S相对=⊿E机。动能定理由牛顿第二定律推导而来，只适合于惯性系。例4．两小球质量均为m，用长为2L的细线相连，置于光滑的水平面上，绳恰好伸直，用一水平恒力F作用于绳的中点并垂直于绳的初位置。（1）问在两小球第一次相碰前的一瞬间，小球在垂直于F方向上的分速度有多大？（2）经若干次碰撞后，最后两球一直保持接触状态，系统因碰撞而损失的机械能是多少？例5．如图，质量为m的物块位于劲度系数为K的弹簧上方h高处，由静止落向弹簧，求下落过程中物块的最大速度。例6．一质量为m的小物块，放在半径为R的光滑半球顶上，初始时，它们之间相对静止，现使半球以加速度a＝g/4匀加速向右运动。求物体离开半球面时，离半球底面的距离h。（三）势能保守力做功与路径无关，因而具有势能，重力、万有引力、弹力、分子力、电场力都是保守力，耗散力做功与路径有关，摩擦力，介质阻力都属于耗散力，保守力做功总是等于相关势能的减少。W保=－⊿EP=EP1－EP21、引力势能规定EP∞=0。（1）两相距为r的质点m1和m2的引力势能rmmGE21P。（2）质点m与均匀球体．M的引力势能rMmGEP（r≥R），式中r为质点到球心之距，RRhhKmFmmLL4—3为球体半径。（3）质点m与均匀球壳．M的引力势能：rMmGEP（r≥R），或RMmGEP（r≤R）。2、弹性势能取弹簧无形变时势能为零，则劲度系数为K的弹簧的弹性势能为：2KKx21E。例7．有一质量M＝2kg的物体，其一端通过一轻弹簧施一大小为30N的水平恒力F，若弹簧的劲度系数为K＝100N／m，物体与水平面间动摩擦因数μ＝0.3。求物体移动2m时的速度。例8．由地面上抛一物体，为使它不再落回地面，其初速度至少多大？（空气阻力不计）。（四）功能原理和机械能守恒定律物体系机械能的增加，等于系统所受外力与非保守内力做功之和，即W外＋W非保内＝E2－E1此即功能原理这里需注意：重力和系统内弹力均属系统内力，不会改变系统的机械能，W外反映了系统与外界的能量转化，W非保内若为负值，表示系统E机↓，系统内E内↑，机械能守恒定律略。例9．如图，轻弹簧将木块连于固定端，木块与水平面动磨擦因数为μ，开始时木块静止于某一位置，若加一水平向右的恒力于木块上。（1）要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力不能小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？例10．光滑竖直圆环半径为r，自然长度也为r的弹簧（不计质量）一端固定在大圆环的顶点O，另一端与一个套在大环上的质量为m的小环相连，如图，先将小环移至A使弹簧保持原长，然后释放小环，求弹簧与竖直线成θ角时小环的速度，并讨论小环的运动。mFKθOAB4—4（五）冲量、动量、动量定理1、冲量I＝Ft，是矢量，方向与恒力F方向相同，反映了力对时间的积累。2、动量定理，12VmVmtF，这里须注意：（1）tF是合外力的冲量；（2）要选定一个正方向，若F、V1、V2与所选正方向相同，即为正的，反之为负的；（3）动量定理在不同的惯性系中有相同的表达形式，在非惯性系中应用时，须考虑惯性力的冲量；（4）动量定理可写成分量式：Ix＝mVx2－mVx1=Fx·⊿t。Iy＝mVy2－mVy1＝Fy·△t。例11．一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m与M之物，M＞m，M静止在地上，当m自由下落h后，绳子才被拉紧，求M从离开地面到落回地面历时多少？设整个运动过程中m都不着地。例12．一均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一钉子上，其中一端突然从钉上脱落，求下落的绳端点离钉子距离为x时，钉子对绳另一端的作用力是多少？这个作用力F与绳子下落端下落时间的函数关系如何？hmMx4—5（六）动量守恒定律1．物体系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变：0tFI外，0PP12，P2＝P1，分量式：Fx·⊿t=0，则P1x＝P2x。注意：（1）动量守恒定律是矢量式，在使用时要先定一个正方向，再确定各物理量的正负；（2）动量守恒的条件是∑F外＝0，对碰撞、爆炸等作用时间极短的问题，可忽略外力冲量，认为系统动量守恒；（3）若∑F外≠0，但∑Fx外＝0，则系统在x方向动量守恒。2．反冲运动和火箭原理（自看）例13．质量为M的火箭正以速度V0水平飞行，若以相对自身的速度u，向反方向喷出质量为m的气流，火箭的速度变为多少？在此过程中，系统的机械能增加多少？例14．如图，质量为m的小木块，从高为H，质量为M的光滑斜面顶端滑下，斜面倾角为θ，放在光滑桌面上，求：（1）m滑到底端时，M后退的距离；（2）m对M做功多少？（七）碰撞碰撞特点：相互作用时间短，相互作用力大，碰撞过程中物体的位移可忽略。碰撞分两种：正碰与斜碰。正碰即碰撞前后速度方向在同一直线上，斜碰即碰撞前后速度不在同一直线上。按碰撞后有无机械能损失又可分为以下两类：1、弹性碰撞：碰撞过程中无机械能损失2211202101VmVmVmVm，22221122022101Vm21Vm21Vm21Vm21，可解得：2120210211mmVm2V)mm(V、2110120122mmVm2V)mm(V（1）若m1＝m2，则V1＝V20，V2＝V10，即碰后两物交换速度。（2）若m1＞m2，且V20＝0，则V1≈V10，V2≈2V10，即碰后第一个物体速度不变，第二个物体以第一个物体的两倍速度前进。（3）若m1＜m2，且V20＝0，则V1＝－V10，V2＝0，即碰后第一个物体以原速反弹，第二物仍静止。另外，由上面速度公式易得：V2－V1＝V10－V20，即弹性碰撞物体碰撞前后两物间相对速度大小不变，方向相反，即接近速度等于分离速度。2、非弹性碰撞：碰撞过程有动能损失，若碰后两物有共同速度时，动能损失最大。HθMm4—63、恢复系数：由一定材料制成的两小球，其碰后的分离速度与碰前的接近速度之比叫恢复系数，201012VVVVe，仅由两小球材料决定。若e＝1，弹性碰撞；若e＝0，属完全非弹性碰撞；一般非弹性碰撞，0＜e＜1，对斜碰，上式也成立，各速度是法向的。例15．如图，两块相同的木板长为L，重叠放光滑水平桌面上，第三块和前两块完全相同的木板向右运动与木板又发生完全非弹性碰撞，碰后木板1恰移至木板3上且首尾对齐，木板间动磨擦因数为μ，问第三块木板碰前速度V0应为多大？例16．如图，质量为M，半径为R的铁环，放在光滑水平面上，另有质量为m的小铁球，以初速度V0从O′出发，OO′＝R／2，问经多少时间小球将与铁环发生第N次弹性碰撞？（八）质心和质心运动1、质心设有N个质点，质量分别为m1，m2，…mN，位置矢量分别为：1r，2r，…Nr，则质点系统的位置矢量mrmmmmrmrmrmrN1iiiN21NN2211C，其中：N21mmmm，分量式：mxmxN1iiiC，mymyN1iiiC，mzmzN1iiiC。二、质心速度VC：N1iiiCvmmV（N1iimm），质点系动量定理，coCN1iimVmVI，即在一段作用时间内，合外力的冲量等于质心动量的增量，若0IN1ii，则质心动量或速度不变，如一手榴弹原来做斜抛运动，在空中炸成3片，这三片的质心仍做抛体运动。V0312ααV0ACO′OB4—7例17．一质量为M的半圆槽A静止在水平面上，一质量为m的滑块B由静止释放，不计一切磨擦，求A的最大位移。例18．质量为1kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L＝1m，质量为1kg的小物体从箱中央以V0＝5m/s的速度开始运动，物体与箱底间动磨擦因数为0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，向小物体可与箱壁碰撞几次？当小物体在箱中刚好相对静止时，箱子的位移是多少？例19．长为L的均匀直杆，竖立在光滑桌面上，若从静止自由倒下，求A、B端运动的轨迹长度。三、方法与技巧（一）微元法例1．如图，将质量为m的物体沿地球半径的延长线向远离地球的方向移动，初位置为γ0，终位置为γ，γ0与γ均从地心算起，地球质量为M，求万有引力的功。BAV0A′C′BB′CA·mrArBr·or04—8例2．如图，质量为m的小车以恒定速度V沿半径为R的竖直圆环轨道运动，小车与轨道的动磨擦因数为μ，求小车从轨道最低战友到最高点过程中，磨擦力所做的功。例3．如图，小枪以出口速度u竖直向上喷水，并托住一质量为m的小球，已知水的密度为ρ，喷口直径为d，试求小球距喷口的高度h。例4．一质量为m的均匀柔软绳子，长为L，上端悬挂，下端恰好触地，现让绳子自由下落，求绳子上端落下距离h时，地面对绳子的瞬时作用力。（二）图象法例5．计算如图弹簧振子中物体m在任一段位移上弹力做的功，已知弹簧劲度系数的K。例6．锤子每次从同一高处落下打击木桩，每次均有80%的能量传给木桩，且木桩所受阻力f与插入地面深度x的成正比，试求木桩每次打入的深度比。ααVhh△mxxx0O4—9（三）能量法例7．如图，质量相等的物体A、B连接在跨过定滑轮M、N的细绳两端，且处于同一水平面上保持静止，并从M、N绳水平及A、B、C都静止开始放手，若滑轮MN间距离为2a，两滑轮光滑、绳及滑轮质量不计，C可下落的最大距离是多少？例8．质量为m的小球，穿过竖直放置的半径为R的光滑圆环上，并用一个劲度系数为K，原长也是R的轻弹簧连接，弹簧的另一端固定在光滑圆环的最高点A上，若小球从与A相距R的B点由静止下滑，则：（1）要使小球不能通过圆环最低点，弹簧的劲度系数K应满足什么条件？（2）若K＝mg/R，求在小球下滑过程中对圆环的压力。例9．如图，重物质量m，开始时车静止在A点，且绳已绷直，然后车加速向左运动，过B点时速度为VB，已知AB＝AD＝H，求车由A移到B的过程中，绳Q的拉力对物体做的功。（四）整体法例10．机车牵引着一节质量为m的车厢在平直轨道上以速度V0匀速前进，它们的总质量为M，阻力与车重成正比，行驶中车厢突然脱钩，但牵引力不变，求车厢停止时机车速度多