等比数列教案

等比数列教案设计设计者：赵洪艳（组长）王影魏宁范丹妮院系专业：数学与统计学院2009级数学与应用数学联系电话：[phone]任课教师：郑燕林上课时间：单周周四五六节2011年六月设计者：赵洪艳（组长）王影范丹妮魏宁电话：[phone]日期：2011年6月10日教学题目：等比数列所属学科：数学学时安排：一课时年级：高二所选教材：高中人教B版必修5第二章《数列》等比数列第一节★教学内容：等比数列的概念及通项公式。★教材分析:本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列对比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会对比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。★教学重点：等比数列的概念和通项公式。★教学难点：1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。教具准备：多媒体课件、投影仪★学习目标与任务一、学习目标描述（一）、知识与技能1、了解现实生活中存在着一类特殊的数列；2、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的对比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4、等比数列与等差数列的关系。（二）、过程与方法1、采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2、发挥学生的主体作用，做好探究性活动；3、密切联系实际，激发学生学习的积极性。（三）、情感态度与价值观1、通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2、通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。二、学习内容与学习任务说明等比数列是继学过的等差数列之后又一种有着特殊性质的数列，本课通过比较式教学法，通过对等差、等比两种数列作比较来让学生更好的了解和掌握等比数列，同时也巩固之前学过的等差数列。本课以一些实际例子开头，引导学生去探究生活中的数学问题。★学习者特征分析:高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，不愿盲从他人，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，甚至还具备了一定的自学能力。本节课要讲的等比数列是建立在他们已经学过的等差数列的基础之上，因此，将等比数列与等差数列做比较从而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。再者，在学习上高中上对科目有很强的选择性，如文科生不愿听理化生，而理科生则不愿听政史地，他们只对与自己高考相关的科目认真对待，而数学，无论对文科生或者理科生，都至关重要。本节所讲的等比数列也是高考必考内容之一，因此在教学过程中可以适当强调本节课内容的重要性以此来提高学生听课时候的注意力。高中生自尊心强烈，希望得到老师和周围同学的关注和认可，正因此，他们也易产生自卑感，稍遇挫折就可能情绪低落，可以说这个时期的学生相当敏感。在教学过程中，应常常鼓励他们以增加他们的自信心，尤其是在引导他们探究时，如果他们给出的答案不正确，不应该立即以“标准答案”将他们否定，而是循序渐进带领他们更正之前的答案，寻找正确的答案。再者，一个班的高中生智力发展一定会有差异，他们对同一新知识的接受需要的时间有快有慢，作为老师应考虑到大多数人，所以课程的准备上应把握好难易程度，太简单会让接受快的学生没耐心听，认为上课时在浪费时间，而太难则让接受能力稍差的学生学得吃力。在人际交往中，由于他们尚未真正步入社会，在家又是备受呵护，一次为人处事方面的能力欠缺，这让他们常常遇到人际关系不和谐的问题。同时上面也说过，高中生的西里是很敏感的，所以当遇到人际关系不和谐的问题时，他们情绪上或者失落、或者烦躁、或者郁闷、或者焦虑都会大大影响到他们的学习，而高中相比初中教学进度快了不少，如果落下来则不易赶上。当然，高中生如果能有良好的人际交往不仅能使人心情愉快、乐观向上、提高学习效率，还能使他们的认知、情感、个性健全发展。据《高中生心理辅导》介绍影响高中生人际关系较为水平的因素主要有1.交往频度2.距离远近3.仪表风度4.志趣相投5.能力特长6.性格特征7.类型互补这几方面；而人际交往中的偏差则表现在羞怯、自卑、闭锁、嫉妒、敌视、逆反六方面。像有逆反心理的高中生往往是内心充满焦虑，而以对抗形式进行自我保护和发泄对立的学生；自卑者常常感到自己交际水平低，缺少口才。我认为作为老师应重视这些盘查，他们不但影响学生的学习，还有可能演变为人格上的缺陷。★教学准备：多媒体★学习情境创设：古印度舍罕王打算重赏大臣达依尔一国际象棋发明人.这位大臣说:“陛下,请您在这张棋盘上的第1格内,赏给我1粒麦子,在第2格内给2粒,第3格内给4粒,照这样下去,各小格内的麦粒都是前1小格的2倍.陛下,把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧!”国王一听,认为大臣的要求真是太低了.师:你认为大臣的要求高不高?(欲擒故纵,学生凭直觉也认为大臣的要求不高).稍作停顿后教师不紧不慢地说:可经过计算,事情的结果却大出国王的意料之外:即使拿出全印度的粮食,也无法实现自己的诺言!生:这是怎么回事?(创设悬念)★教学活动设计：情境设计意图问题一：观察下图，细胞的分裂有什么规律，你能写出一个由图中所示细胞分裂模型，归纳出细胞分裂的规律，并用数列模型加以刻画。数列来表示细胞分裂的个数吗？师：引导学生看图，启发学生发现细胞分裂的规律是：由1个分裂为2个，2个分裂为4个，4个分裂为8个，…生：通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律；并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到数列1,2,4,8，…。问题2：《庄子》中有这样的论述“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”你能用现代语言叙述这段话吗？若把“一尺之棰”看成单位“1”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列？师：引导学生发现“日取其半”所蕴含的等比关系。1，12，14，18，116，…生：发现等比关系，写出一个无穷等比数列。列举古文中的一句话，让同学们了解数学的应用之广。且由“日取其半”发现等比数列关系。问题3：回忆数列的等差关系和等差数列的定义。观察前面得到的2个数列，说说它们有什么共同特点?师：引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系和概括出等比数列的定义。生：观察所得到的数列，分组讨论它们的共同点，然后归纳出等比数列的定义，在全班交流。巩固之前学过的等差数列，进而建立起等差数列与等比数列的联系。发现数列中的等比关系，概括出等比数列的概念。问题4：总结学生的结论，给出等比数列的定义。（板书）等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）（注意：等比数列的公比和项都不为零）．注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q,}{na成等比数列nnaa1=q（Nn,0q）（2）隐含：任一项00qan且,“na≠0”是数列}{na成等比数列的必要非充分条件．（3）1q时，}{na为常数。等比数列通项公式等比数列的通项公式（一）：)0(111qaqaann这部分是重难点，用板书的形式体现并强调等比数列定义中应注意的问题，让同学更好的理解并掌握等比数列。列举等比数列的推导过程目的是让同学更好的掌握等比数列中各项的关系。由等比数列的定义，前(1)n个等式有：21aqa；,23qaa；…………………1nnaqa若将上述1n个等式相乘，便可得：11342312nnnqaaaaaaaa，即：11nnqaa（2n）当1n时，左边1a，右边1a，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：11nnaaq．等比数列的通项公式（二）:)0(11qaqaammn说明：由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q时该数列既是等比数列也是等差数列；既是等差又是等比数列的数列：非零常数列问题5：观察书上的表格，列出5年内各年末本利和，说说它们是怎样得到的？师：介绍“复利”的背景，给出计算本利和的公式：本利和=本金×（1+利率）n:这里n为存期.生：列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程。使学生练习由通向公式求等比数列各项。问题6：类比等差中项的概念，请学生自己给出等比中项的概念。等比中项概念：如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项通过对比了解等比中项的概念。问题7：补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性。对于等差数列来说，与数列中任一项an等距离的两项之和等于该项的2倍，即akn+akn=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？（对于等比数列来说，与数列中任一项an等距离的两项之积等于该项的平方，即aknakn=an2.）对比等差数列，类似记忆等比数列。问题8：探究：（1）一个数列a1,，，，，aaan32(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？（2）写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？两个公比为2的等比数列呢？（3）任一项an及公比q相同，则两个数列相同吗？（4）任意两项aanm，相同，则两个等比数列相同吗？（5）若两个等比数列相同，需要什么条件？师：引导学生探究，并给出（1）的答案，（2）（3）（4）可留给学生回答。（1）的答案：能，当等差数列的公差为0，就是常数列，同时也是公比为1的等比数列。生：探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流（1）的解答。（1）类比等比数列和等差数列的概念。（2）说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；深刻理解等比数列通项公式的推导过程。问题9：请同学们从定义、通项公式类比等差数列与等比数列并归纳总结。名称等差数列等比数列定义11(2)(1)nnnnaadnaadn或11(2)(1)nnnnaaqnqnaa或通项公式1(1)()nnmaandaanmd11nnnmnmaaqaaq让同学们更好的区分等差数列与等比数列，避免同学运用数列知识引起混乱。★学习评价设计测试形式与工具：课堂思考题，书面练习和测试【课堂思考题】在等比数列中我们学习过等比数列的前n项的求和公式，有没有办法计算等比数列的前n项的求和公式呢？等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.答案下节课揭晓【练习题组A】等差数列与等比数列【设计目的】类比已经学过的等差数列，应用等比数列的性质。1.公差不为零的等差数列的第2、3、6项组成等比数列，则公比为（）答案：92.在6与16之间插入两个数，是前三个成等差数列，后三个成等比数列，求这两个数。答案：9和12或1和-4【练习题组B】等比数列的形式与性质【设计目的】回忆等比数列的形式，巩固课堂讲解的等比数列的性质.利用方程思想解题在数列中是一种重要的思想方法.⒊若数列{an}满足a10，a2=9，且对任意正整数n都有an+1=a1an，求数列{an}的通项公式。4.各项都是正数的等比数列{}an中，a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.5－12B.5＋12C.1－52D.5＋12或5－12解析：设{an}的公比为q，∵a1＋a2＝a3，∴a1＋a1q＝a1q2，即q2－q－1＝0，∴q＝1±52，又∵an＞0，∴q＞0，∴q＝1＋52，a3＋a4a4＋a5＝1q＝5－12.答案：A⒌已知等差数列{an}中，a7+a9=40，a4=1，求a1的值。答案：1／8【练习题组B】综合应用，发散思维【设计目的】引导学生综合应用已学过的知识，综合应用多种解题思路，发现等比数列在实际生活中的应用。6.某人向银行贷款10万元购买住房，贷款利息是5.7%，按复利计算10年后除归还本金外，还应多还多少元贷款利息？（精确到1元）答案：17