算术平均数与几何平均数教案

算术平均数与几何平均数一、教学类型：新知课二、教学目标：1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2．理解定理的几何意义；3．能够简单应用定理证明不等式.三、教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件四、教学方法：引导式五、教具：小黑板六、教学过程：（一）复习回顾上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.（二）讲授新课1．重要不等式：如果证明：当所以，即原命题得证由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果是正数，那么证明：∵即显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数.ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.4．例题讲解：例1已知都是正数，求证：（1）如果积XY是定值P,那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.（2）和为定值S时，有上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在.接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.(三)课堂练习课本P11练习2，3要求：学生板演，老师讲评.七、思考问题：此定理一般运用于求解哪些问题？求函数的最值问题是否可用？八、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.课后作业：习题6.21，2，3，4