算法合集之《从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》

优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化安徽省芜湖市第一中学朱晨光引言在当今的信息学竞赛中，动态规划可以说是一种十分常用的算法。它以其高效性受到大家的青睐。然而，动态规划算法有时也会遇到时间复杂度过高的问题。因此，要想真正用好用活动态规划，对于它的优化方法也是一定要掌握的。本文将就《鹰蛋》这道题目做较为深入的分析，并从中探讨优化动态规划的本质思想与一般方法。问题当鹰蛋从第E层楼及以下楼层落下时是不会碎的，但从第（E+1）层楼及以上楼层向下落时会摔碎。有一堆共M个鹰蛋，一位教授想研究这些鹰蛋的坚硬度E。他是通过不断从一幢N层的楼上向下扔鹰蛋来确定E的。如果鹰蛋未摔碎，还可以继续使用；但如果鹰蛋全碎了却仍未确定E，这显然是一个失败的实验。教授希望实验是成功的。问题例如：若鹰蛋从第1层楼落下即摔碎，E=0；若鹰蛋从第N层楼落下仍未碎，E=N。这里假设所有的鹰蛋都具有相同的坚硬度。给定鹰蛋个数M与楼层数N(M,N=1000),求最坏情况下确定E所需要的最少次数。样例：M=1，N=10ANS=10（解释：只能将这个鹰蛋从下往上依次摔）算法一由于是求最优值，我们自然想到了使用动态规划！算法一状态定义：f(i,j):用i个蛋在j层楼上最坏情况下确定E所需要的最少次数。状态转移：i个鹰蛋(j-w)层(i-1)个鹰蛋(w-1)层i个鹰蛋j层f(i-1,w-1)次f(i,j-w)次算法一状态定义：f(i,j):用i个蛋在j层楼上最坏情况下确定E所需要的最少次数。状态转移：f(i,j)=min{max{f(i-1,w-1),f(i,j-w)}+1|1=w=j}算法一显然，这个算法的时间复杂度为O(N3)太高了！如何才能降低它的时间复杂度呢？算法二经过观察，我们发现这题很类似于二分查找，只不过是对鹰蛋的个数有限制。若是对鹰蛋的个数没有限制呢？这题就变成求二分查找在最坏情况下的比较次数！答案即为)1(log2n算法二因此，当M=时，直接输出即可.)1(log2n)1(log2n算法的时间复杂度立即降为O(N2log2N)算法二这里，我们是通过减少状态总数而得到了优化的空间，从而大大提高了算法效率。这也是优化动态规划算法的一种常用方法。然而优化还远未结束！算法三经观察发现，动态规划函数f(i,j)具有如下单调性：f(i,j)=f(i,j-1)(j=1)这条性质可以用数学归纳法进行证明，这里就从略了。那么，f(i,j)的单调性有什么作用呢？算法三（如图，令①为f(i-1,w-1)的图象，②为f(i,j-w)的图象,③即为max{f(i-1,w-1),f(i,j-w)}+1的图象）算法三这样，我们就成功地将状态转移的时间复杂度降为O(log2N)，算法的时间复杂度也随之降为O(N(log2N)2).在对算法三进行研究之后，我们会萌生一个想法：既然现在f(i,j)都需要求出，要想找到更高效的算法就只能从状态转移入手，因为这一步是O(log2N)，仍然不够理想。因此，算法四将以状态转移为切入点，进一步探究优化的空间。算法四根据这个不等式，我们可以得到如下推理：若存在一个决策w使得f(i,j)=f(i,j-1)，则f(i,j)=f(i,j-1)若所有决策w均不能使f(i,j)=f(i,j-1)，则f(i,j)=f(i,j-1)+1通过进一步挖掘状态转移方程，我们得到如下不等式：f(i,j-1)=f(i,j)=f(i,j-1)+1(j=1)算法四这里，我们设一指针p，并使p时刻满足：f(i,p)=f(i,j-1)-1且f(i,p+1)=f(i,j-1)由状态转移方程可知，决策时f(i,p)所对应的函数值是f(i-1,j-p-1).下面，我们将证明只需通过判断f(i,p)与f(i-1,j-p-1)的大小关系便可以决定f(i,j)的取值。算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1s大于等于j-1(s=j-p-1)算法四f(i-1)f(i)jjp+1psj-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1sf(i,j)=f(i,j-1)j-1算法四f(i-1)f(i)jjpp+1s小于f(i-1,s)f(i,p)=f(i,j-1)-1j-1情况一（p’p)f(i-1)f(i)jjpp+1sp’s’max{f(i,p’),f(i-1,s’)}+1f(i,j-1)大于等于大于大于等于j-1情况二（p’=p)f(i-1)f(i)jjp+1p’s’j-1max{f(i,p’),f(i-1,s’)}+1f(i,j-1)大于情况三（p’p)f(i-1)f(i)jjp+1p’s’psmax{f(i,p’),f(i-1,s’)}+1f(i,j-1)算法四因此，我们只需根据f(i,p)与f(i-1,j-p-1)的大小关系便可直接确定f(i,j)的取值，从而使状态转移成功地降为O(1),算法的时间复杂度降为O(Nlog2N)综上所述，当f(i,p)=f(i-1,j-p-1)时，可以直接得出f(i,j)=f(i,j-1);当f(i,p)f(i-1,j-p-1)时,无论任何决策都不能使f(i,j)=f(i,j-1),所以此时f(i,j)=f(i,j-1)+1.小结这时我们会发现，经过了数次优化的动态规划模型已经不可能再有所改进了，对这题的讨论似乎可以到此为止了。但是，直到现在为止，我们还只是对一个动态规划模型进行优化。事实上，对于一道动态规划题目，往往可以建立多种模型。因此，我们不妨继续思考，来找到更高效的模型。算法五经过不懈努力，我们终于又找到了一种模型，在这种模型下的算法五，可以将时间复杂度降为O()。让我们来看一看算法五的精彩表现吧！N这里，我们需要定义一个新的动态规划函数g(i,j)，它表示用j个蛋尝试i次在最坏情况下能确定E的最高楼层数。算法五而且只用1个鹰蛋试i次在最坏情况下可在i层楼中确定E，即g(i,1)=i(i=1)状态转移也十分简单。很显然，无论有多少鹰蛋，若只试1次就只能确定一层楼，即g(1,j)=1(j=1)g(i,j)=g(i-1,j-1)+g(i-1,j)+1(i,j1)算法五我们的目标便是找到一个x，使x满足g(x-1,M)N且g(x,M)=N，答案即为x.这个算法乍一看是O(Nlog2N)的，但实际情况却并非如此。经过观察，我们很快会发现，函数g(i,j)与组合函数C(i,j)有着惊人的相似，而且可以很容易证明对于任意i,j(i,j=1),总有g(i,j)=C(i,j).算法五这样，我们可以得到C(x-1,M)=g(x-1,M)N。根据这个式子，我们可以证明运算量(即xM)与同阶，这里证明从略。因此，我们若在M=1时作特殊判断，就可以使运算量最差与同阶。MNN算法五在新的动态规划模型之下，我们找到了一个比前几种算法都优秀得多的方法。这就提醒我们不要总是拘泥于旧的思路。换个角度来审视问题，往往能收到奇效。倘若我们仅满足于算法四，就不能打开思路，找到更高效的解题方法。可见多角度地看问题对于动态规划的优化也是十分重要的。总结本文就《鹰蛋》一题谈了五种性能各异的算法，这里做一比较：O(log2N)O()算法五O(N)O(Nlog2N)算法四O(N)O(N(log2N)2)算法三O(N)O(N2log2N)算法二O(N)O(N3)算法一空间复杂度时间复杂度算法编号N总结从这张表格中，我们可以很明显地看出优化能显著提高动态规划算法的效率。并且，优化的方法也是多种多样的。这就要求我们在研究问题时必须做到：深入探讨大胆创新永不满足不断改进总结在实际问题中，尽管优化手段千变万化，但万变不离其宗，其本质思想都是：二、另辟蹊径，建立新的模型，从而得到更高效的算法。一、找到动态规划算法中仍不够完美的部分，进行进一步改进；总结而在具体的优化过程中，需要我们做到以下几点：减少状态总数挖掘动态规划方程的特性优化状态转移部分建立新的动态规划模型结束语优化，再优化，让我们做得更好！