算法对高中数学的渗透

算法对高中数学的渗透成都市高新实验中学张平福《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。”新课程不仅开设算法初步专题，而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分.在高中数学课程中，解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回归方程等，都是算法的典型案例．由此可见，算法思想贯穿整个高中数学，算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系.在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在学习相应内容的过程中，有意识地引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。一、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.在教学时尽量根据问题解决情景培养算法思想，以真正提高学生思维能力.【例1】已知椭圆1422myx的离心率为21，试设计求m的算法程序框图.算法分析：信息“椭圆1422myx”意味着4,0mm，离心率12cea需定位方程中4和m哪一个是2a.可用条件结构表现“椭圆焦点在哪个坐标轴上”与“m与4的大小”之间的依赖关系，即需判断m与4的大小，并据此设计算法，程序框图如下.二、波利亚的“怎样解题表”是数学问题解决的普适性算法按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤：第一，弄清问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾.就这四个步骤而言，波利亚指出：“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者，数学教师需认真研读波利亚的“怎样解题”.波利亚的“怎样解题”表弄清问题第一你必须弄清问题拟定计划第二找出已知数与未知数之间的联系.如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.实现计划第三实现你的计划回顾第四验算所得到的解未知是什么？已知是什么？满足条件是否可能？要缺点未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述这个问题？回到定义去。如果你解决所提出的问题，可先解决一个与此相关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它回怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知的数据？你是否利用了所有条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？实现你的求解计划，检验每一个步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其它的问题?【例2】(2003年全国卷第21题)已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且DADGCDCFBCBE，P为GE与OF的交点（如图15），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.分析：本题高考四川省均分仅1.59，惨不忍睹！很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗？让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受：首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定是解析几何问题；其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系；第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系；第四，建立坐标系的目的是什么呢？当然从问题情境看可以设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标（事实上只需设元引参：设DADGCDCFBCBE=k，进而确定相关的点的坐标）；第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程;第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可.我们在赞叹这位同学聪明机智的同时，更应该看到他思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系如右.事实上，上述框图中的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了.解：如图建立直角坐标系，按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).(01).(2,4),(24,4),(2,44).BECFDGkkBCCDDAEakFkaGaak设由此有yxOBACDEGFPPOCABDEGF开始结束问题的信息输入：这是解析几何问题，需建立坐标根据图形的对称性建立恰当的坐标系设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标建立直线OF和GE的方程，用交轨法求点P的轨迹方程根据点P的轨迹方程判断点P的存在性2222(21)0,1(21)20.212,(,)220,OFaxkGEakxyakPxyaxyay直线的方程为直线的方程为从，消去参数得点坐标满足方程.21.21.1)(2122222和为定长到该椭圆焦点的距离的，点的轨迹为椭圆的一部分时，点当存在符合题意的两点的轨迹为圆弧，所以不时，点当整理得PPaPaaayx222222111(,),(,)2.222111(0,),(0,)2.222aaaaaaaaaaa当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值当时，点到椭圆两个焦点的距离之和为定值三、算法思想也是思想实验【例3】(2002年全国卷文科22)给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小.分析：要求用正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，除了给出的标准答案外，其实还有一种更简单自然的方法（如右图）.这种做法应该更容易想到，所用知识更少.像这样的动手实践的问题，其实更需要学生在平时积累的直接经验，这也是新课程标准所强调的（即动手实践能力）.而这一算法思想古人早就应用其解决实际问题。在《九章算术》中卷一“方田”第25题：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？注文中的“以盈补虚”就是刘徽的“出入相补”法，在高考中从代数角度也进行了考查，如上海高考试题：已知函数20cos2xxy的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是A．4B．8C．2D．4图一图二广盈正从虚正从广虚盈四、数学问题是算法思想培养的素材【例4】设实数mn,m+n=8,mn=12,求m和n.解析：算法一：（传统方法）m、n是方程x2-8x+12=0的根，利用求根公式或十字相乘法知m=6,n=2.算法延伸：在等差数列}{na中，30,116592aaaa，则na__________.思路：由等差数列性质知6592aaaa，可知65,aa是方程030112xx的两个根，故5,6656565aaaa或，，得nan，或nan7。算法二：（构造共轭）m+n=8,mn=12（m+n）2=64m2+2mn+n2=64m2)-2mn+n2=16(m-n)2=16m-n=4m=6,n=2.应用示例：设是第二象限的角，sin+cos=51,则tan=________.思路：由算法二方法构造共轭式：sin-cos=57，得43tan算法三：（增量代换）m+n=8m超过4的的部分正好是n少于4的部分，据此设m=4+t,n=4-t,代入mn=12(4+t)(4-t)=12t2=4t=2m=6,n=2。应用示例：（1）已知正数ba,满足2ba，则ba11的最小值为__________.（2）（06江苏）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4思路：（1）令)1,0[1,1ttbta，则)10(121111)(112tttttfba，所以0t时ba11取最小值2。（2）本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，所涉及的是初中知识，而不是离散型随机变量分布列的期望（平均）与方差。样本平均数为2010591110yxyx①样本方差为8)10()10(25)109()1011()1010()10()10(2222222yxyx②解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出yx即可，由①，设x=10+t,y=10-t,代入②得：2||822tt，故4||2||tyx，选D五、利用算法思想提高学生数学思维品质【例5】(09福建理15)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.解析：这是历史上著名的斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.利用《算法初步》案例1的思想首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即设第n次报数、第1n次报数、第2n次报数分别为na，1na，2na，则有12nnnaaa，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在一个周期内只有第四个数和第八个数都是3的倍数，五位同学依序循环报完100个数共经历12.5个周期，其中第4，8，12，16，…，4k，…，96，100个数是3的倍数，已知甲同学第一个报数，他报数的位置为1，6，…，51n，…，96.问题转化为当51100nan时有{}na多少项是4的倍数，易知3,7,11,15,19n时na是4的倍数，即甲同学拍手的总次数为5次.我们在看看四川06年理科12题：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（A）1954（B）3554（C）3854（D）4160【考查目的】本题考查排列组合、概率及分类的思想方法．【解法】从0到9这