矩阵理论在线性系统表示中的应用

矩阵理论在线性系统表示中的应用摘要：本文简要展示了矩阵在线性系统基础理论中的应用，特别是矩阵中的特征值与特征向量在对角标准型以及约旦型的应用尤为重要。1各变量的含义输入变量组（系统输入，系统的外部变量）：环境对系统的作用，表为12,,,puuu。输出变量组（系统输出，系统的外部变量）：系统对环境的作用，表为12,,,qyyy。状态变量组（系统的内部变量组）：刻画系统在每个时刻所处态势，表为12,,,nxxx。状态变量组：能完全表征动力学系统时间域行为的一个最小内部变量组，表为12(),(),,()nxtxtxt，其中t为自变量时间。状态：定义为由其状态变量组12(),(),,()nxtxtxt所组成的一个列向量，表为1()()()nxttxtx状态x的维数定义为其组成状态变量12(),(),,()nxtxtxt的个数，即dimnx2线性时不变系统和时变系统状态空间描述的一般形式2.1线性时不变系统的一般形式xAxBuyCxDu其中1111122111112212211222221122221122112211111221111122122........................nnrpnnrpnnnnnnnnnrpnnrpxaxaxaxbububuxaxaxaxbububuxaxaxaxbububuycxcxcxdududuyc112222211222211221122............nnrpmqqqnnqqqrpxcxcxdududuycxcxcxdududu2.2线性时变系统的一般形式()()()()ttttxAxBuyCxDu其中111212122212()()()()()()()()()()nnnnnnatatatatatattatatatA111212122212()()()()()()()()()()ppnnnpbtbtbtbtbtbttbtbtbtB111212122212()()()()()()()()()()nnqqqnctctctctctbttctctbtC111212122212()()()()()()()()()()rrqqqrdtdtdtdtdtdttdtdtdtD其中元素有些或全部是时间t的函数3系统的实现3.1标准Ⅰ型（能控型实现）n阶系统信号传递从左到右：xn,xn-1,…,x1；积分器串联，则uyxAxbcx即1122110121120010000010000010100nnnnnnxxxxuxxaaaaxxxxybx能控标准Ⅰ形的特点：由状态变量到输入的负反馈构成。系统矩阵A阵为友矩阵：主对角线上方元素为1，最后一行元素为标准形式（对象：传递函数无零点，sn系数为1）的分母各项（阶次从低到高）系数乘以（-1）的值。能够由能控标准形实现的系统，必然是能控的。3.2标准Ⅱ型（能观型实现）n阶系统信号传递从左到右：xn,xn-1,…,x1；积分器串联，则uyxAxbcx即010112221112100010000000000100001nnnnnnnaxbxaxxuaxxaxxxyxxA阵：主对角线下部元素全为1，最后一列元素为（-1）×分母多项式的各阶系数，阶次从低到高。每一个状态的导数都与最后一个状态有关。从上述方程看到Ⅰ、Ⅱ型为对偶关系,,TTTAAcbbc3.3对角型及约当型实现对角型实现（特征值为不相等的实数）约当型实现（特征值有相等的重根）对角型及约当型实现是通过把传递函数化为部分分式导出的。要化为部分分式，传递函数分子阶次须小于分母阶次。若m=n，应先利用长除法，分离出直接传递矩阵。积分器为并联形式。(1)对角线标准Ⅰ型则11122200010001000001nnnxxxxuxx12nycccx这种形式的系统，必是能控、能观的，每个状态的导数与本身和输入有关。(2)对角线标准Ⅱ型则1111222200000000000nnnnxxcxxcuxxc111yx能够写成这种形式的系统，必是能控、能观的Ⅰ、Ⅱ型互为对偶系统矩阵A阵为对角线型，对角线上是互异特征根，是约当标准形的一种特殊形式；b是列向量，元素为全1（Ⅰ型）c是行向量，元素为留数（Ⅰ型）(3)约旦型实现则111212111111110000001000000000000001000000000000000000000000000qqqqqqqnnnxxxxxxxxxxxx00011111(1)12111qqqnyccccccxA阵：主对角线上元素是特征根λn，对角线下面的元素为0，有重根时，靠对角线上元素为1，其余为0，为约当标准形。A阵对应于重根部分（左上方）为约当标准块。4小结从以上的阐述可以看到，矩阵理论在线性系统中的应用至关重要，可以说如果没有矩阵理论的支撑，系统控制的发展没有如此快速的发展。