矩阵续-实对称矩阵的相似矩阵

实对称矩阵的对角化1/24第四节实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵的相似理论实对称矩阵对角化的方法实对称矩阵的对角化2/24()()TTTTXAXXAXAXXTTXXXX()TTXXXX一、实对称矩阵特征值的性质性质1nCXCXAX)0(,,AXXAXAXX()0TXX实对称矩阵的对角化3/24性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交实对称矩阵的对角化4/24021XXT实对称矩阵的对角化5/24性质3设是n级实对称矩阵A的s重特征值，则矩阵的秩，AE()RAEns从而对应特征值恰有s个线性无关的特征向量.证明略实对称矩阵的对角化6/24二、实对称矩阵的相似理论定理1任意实对称矩阵A都与对角矩阵相似定理2设A为n级实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.实对称矩阵的对角化7/24三、实对称矩阵对角化的方法计算步骤：求正交矩阵P,化实对称矩阵A为对角矩阵11()det()()0,,,.isnAiisijiifAEijnn其中实对称矩阵的对角化8/2412,()0,,,.iiiiiinAEX对每个求的基础解系2对每个特征值求特征向量实对称矩阵的对角化9/24将每组基础解系标准正交化；1212,,,,,,,.iiiiiniiinSchmidt对每组基础解系利用标准正交化过程，得实对称矩阵的对角化10/2411111112-111(,,,,,,,,),(,,,).snsssnTssPPAPPAPdiag令则有，,，1nsn4作正交矩阵P，使得P-1AP为对角阵实对称矩阵的对角化11/24222222254254245011222242(1)254(1)2940110012(1)(10)实对称矩阵的对角化12/2412310822(10)2540245xAEXxx1323200xxxx822245201254099011245018180001122T实对称矩阵的对角化13/241231122()2440244xAEXxx12212224400024400023210,011TT实对称矩阵的对角化14/24222323322],[],[123122210011TTT02214114551051231122312105124535TTT实对称矩阵的对角化15/2412235352143535250335Q11000010001QAQQ不唯一实对称矩阵的对角化16/242011,T123112231011224116TTT122033212362212362Q3123Txxx423[,]0单位化230xx11T实对称矩阵的对角化17/24练习:13124242,421,.ATTAT设实数域上的级对称矩阵求正交矩阵使得为对角矩阵实对称矩阵的对角化18/24答案:3/23503/115525523/2155455T1235,120,1014,212TTT实对称矩阵的对角化19/24实对称矩阵的对角化20/243132[]0[]0XXXX，，，3123(,,)1TXxxx解：设是属于的特征,)1,1,1(3TX,向量则由实对称矩阵的对角化21/24则实对称矩阵的对角化22/24作业1.4223101)2422)121224013求一正交矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵.12.0110011,.TAAA设三级实对称矩阵的特征值为，，，的属于的特征向量为求实对称矩阵的对角化23/24例1111001.10.15,1,2,0.10.85,0(,),1,2,.12nnnnnnnnTnnnxxynyxyxynxynxynLL考察栖息在同一地区的兔子和狐狸的生态模型。两种动物的数量的相互依存关系可用以下模型描述：其中，分别表示第年兔子和狐狸的数量，而，表示基年（＝）兔子和狐狸的数量，记）写出该模型的矩阵形式；）000(,)(10,8)3TTnxyn如果，求；）当时，可以得到什么结论？实对称矩阵的对角化24/24解：0126424(0.95)(0.95).44nnnnA0108-11.10.151).,,1,2,0.10.85nnAAnL记则0012102).,,|-|(-1)(-0.95)81,0.95.nnAAEA由得的特征值为112231;.21属于的特征向量属于的特征向量63).lim.4nn3124,21