矩阵论—特征值和特征向量.

机动目录上页下页返回结束数学科学学院陈建华矩阵论机动目录上页下页返回结束§1.1特征值和特征向量一、方阵的特征值和特征向量二、线性变换的特征值和特征向量机动目录上页下页返回结束1、定义假设A是n阶方阵，如果存在数和非零向量X，使得AX=X称是矩阵A的一个特征值，X是对应于的一个特征向量。一、方阵的特征值和特征向量机动目录上页下页返回结束AX=X非零向量特征向量对应特征值n阶方阵对应于特征值的特征向量不唯一。注：2、求法AX=X(E–A)X=0|E–A|=0特征方程|E–A|=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式E–A特征矩阵特征值特征向量机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(1)为A的特征值|E–A|=0.(2)X为A的对应于的特征向量(E–A)X=0,X为非零向量.求特征值和特征向量的步骤：(1)写出A的特征方程|EA|0;(2)求出A的n个特征值1,2n;(3)对每一特征值i，求解对应的方程组(iEA)X0方程组的非零解就是i的所有特征向量.定理1例1机动目录上页下页返回结束解:A的特征多项式为求矩阵的特征值和特征向量.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,解方程组(2E–A)X=0,110430102EA3102410100EA100010000,(),()221110430102A机动目录上页下页返回结束p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为k1p1(0k1R).得基础解系对于2=3=1,解方程组(E–A)X=0,210420101EA101012000,得基础解系p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为k2p2(0k2R).于是，于是，机动目录上页下页返回结束3、性质（1）2是A2的特征值;（2）-1是A-1的特征值；（3）a+k是aE+kA的特征值（a,k为常数）。且X仍为A2,A-1,aE+kA的分别对应于特征值2,-1,a+k的特征向量。设是方阵A的特征值，X为A的对应于性质1的特征向量，则机动目录上页下页返回结束特征值为1=2,2=3=1.1+2+3=4123=2=a11+a22+a33=|A|.观察例1110430102A机动目录上页下页返回结束设A=(aij)nn的特征值为1,…,n,则(1)1+…+n=a11+…+ann，(2)12…n=|A|,其中a11+…+ann称为A的迹，记作tr(A).性质2证明：f()=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann=(-1)…(-n).f()=n-(a11+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|f()=n-(1+…+n)n-1+…+(-1)n(1…n)比较上述两式n-1项的系数和常数项，可得结论。机动目录上页下页返回结束A可逆当且仅当1,…,n全不为零.的确是方阵的一个特征.推论由此可知,特征值可以刻画方阵的可逆性,（3）AT特征值为1,…,n；（4）AH特征值为12.n，，，机动目录上页下页返回结束设是方阵A的特征值，X为A的对应于性质3的特征向量，-1-110()=++++mmmmgxbxbxbxb则对应的特征向量。()()ggAX是的特征值，是P3,定理1.2例2已知三阶方阵A有特征值1，2，3，求|E+2A|.例3（1）m是Am的特征值;（2）|A|/是A*的特征值；设是方阵A的特征值，X为A的对应于的特征向量，证明：机动目录上页下页返回结束性质4设i是方阵A的特征值，它的代数重数是ni几何维数是si，则1.iisn121212()=(-)(-)(-)(+++=)tnnnAttfnnnn其中：Si是A的属于i的线性无关的特征向量的个数,=-(-).iisnREA机动目录上页下页返回结束如果分别是A的属于互不相同的特征值12,,,kXXX的特征向量，则线性无关.12,,k证：对k作数学归纳法.性质512,,,kXXX推论特征值的线性无关的特征向量，i1,2,,,ik则向量线性无关.11111,,,,,,krkkr是A的不同特征值，而是属于12,,k12,,iiiir机动目录上页下页返回结束例4对于n阶方阵A,B,证明：()=().trABtrBA思考题对于n阶方阵A,B,等式AB-BA=E是否成立？二、线性变换的特征值和特征向量设是数域P上线性空间V的一个线性变换，则称为的一个特征值，称为的属于特征值00(),二、线性变换的特征值与特征向量1.定义若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,0,使得的特征向量.0①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，00()()()()kkkk注相同或相反0(0)0(0).0()0,0.时②若是的属于特征值的特征向量，则0也是的属于的特征向量.(,0)kkPk0但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则()().设是V的一组基，12dim,,,,nVn线性变换在这组基下的矩阵为A.12,,,n下的坐标记为010,nxx2.特征值与特征向量的求法分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基0则在基下的坐标为()010,nxAx12,,,n而的坐标是00100,nxx0010100,nnxxAxx于是0()又0010()0.nxEAx从而0100,0,nxx又即是线性方程组的解，010nxx0()0EAX∴有非零解.0()0EAX所以它的系数行列式00.EA以上分析说明：若是的特征值，则00.EA0反之，若满足0P00,EA则齐次线性方程组有非零解.0()0EAX若是一个非零解，0()0EAX01020(,,,)nxxx特征向量.则向量就是的属于的一个0110nnxx0设是一个文字，矩阵称为,nnAPEA111212122212...............()nnnnnnAaaaaaaEAaaaf称为A的特征多项式.3.特征多项式A的特征矩阵，它的行列式（是数域P上的一个n次多项式）()Af②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式0()Af0的根，即0()0.Af的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是00（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组的非零解也就()0EAX称为A的属于这个特征值的特征向量.i)在V中任取一组基写出在这组基下12,,,,n就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们EA4.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组()0EAX的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值12,,,n1,1,2,,niijjjcir则就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.0而1122,rrkkk（其中，不全为零）12,,,rkkkP就是的属于的全部特征向量.0111212122212(,,,),(,,,),,(,,,)nnrrrnccccccccc如果特征值对应方程组的基础解系为：0对皆有(0),V().Kk().nEkEk所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且122212,221A解：A的特征多项式122212221EA2(1)(5)例2.设线性变换在基下的矩阵是123,,求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）121,5把代入齐次方程组得1()0,EAX123123123222022202220xxxxxxxxx即1230xxx它的一个基础解系为：(1,0,1),(0,1,1)因此，属于的两个线性无关的特征向量为1113223,而属于的全部特征向量为1112212,(,)kkkkP不全为零因此，属于5的一个线性无关的特征向量为把代入齐次方程组得5()0,EAX解得它的一个基础解系为：(1,1,1)3123而属于5的全部特征向量为3333,(,)kkPk0123123123422024202240xxxxxxxxx5.特征子空间定义：00V再添上零向量所成的集合，即000()()()()设为n维线性空间V的线性变换，为0的一个特征值，令为的属于的全部特征向量0V0则是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.0V00()()()()kkkk00,VkV注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的0若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则00dim()VnEA秩即特征子空间的维数等于齐次线性方程组0V0()0EAX(*)全部线性无关的特征向量就是的一组基.0V线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．David.C.Lay