平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)

1平面向量11.数量和向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ba,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。向量与有向线段的区别：⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：⑴向量a与b相等，记作a=b；⑵零向量与零向量相等；⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6.平行向量的定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；⑵向量cba、、平行，记作cba////。二、向量的运算法则1.向量的加法某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：ACBCAB；⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。⑵三角形法则：ACBCABba⑶四边形法则：OCACOAOBOAba三角形法则四边形法则2练习：化简（1）CDBCAB）（（2）OMBOMBAB)(（3）COBOOCOA2.向量的减法⑴相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。①aa)(；②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：0)()(aaaa；③如果ba，是互为相反的向量，则：0,,baabba。⑵向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即)(baba向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。练习：（1）ACAB（2）OAOD（3）ADODOA（4）DCADAB例1.平行四边形ABCD中，bABaAD,，用a、b表示向量DBAC,。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。3.向量的数乘运算实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：⑴||||||aa；3⑵当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；特别的，当=0或a=0时，a=0。注意：实数与向量a，可以做积，但不可以做加减法，即+a，-a是无意义的。实数与向量的积的运算律：设a、b为任意向量，，为任意实数，则有：①aa)()(；②aaa)(③baba)(例1.计算a4)3).(1(；ababa)(2)(3).2(；)23()32).(3(cbacba例2.计算(1).);2(2)(3baba(2).)243(3)362(2cbacba结论：向量b与非零向量a共线，当且仅当有唯一一个实数，是的b=a。例3.向量212122,eebeea是否共线？例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且bADaAB,,你能用ba,表示MDMCMBMA,,,吗？4二、向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数21、、，恒有baba2121)(。1.有关向量共线问题例1.已知向量ba、满足)23(51253bababa，求证：向量ba和共线。例2.已知BCDEABAD3,3,试判断AEAC与是否共线？定理的应用：(1).有关向量共线问题；(2).证明三点共线：CBABCBCAB、、)0(三点共线；(3).证明两直线平行问题。例3.已知任意两个非零向量ba、，试作baOCbaOBbaOA3,2,，你能判断CBA、、三点间的位置关系吗？为什么？例4.在四边形ABCD中，baCDbaBCbaAB35,4,2，求证：四边形ABCD为梯形。55高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)姓名______班级______学号______一.选择题(每题5分)1.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是()A.a与b的长度必相等B.baC.a与b一定不相等D.a是b的相反向量2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,则向量OD等于()A.abcB.abcC.abc-D.abc--3.(如图)在平行四边形ABCD中,下列正确的是().A.ABCDB.ABADBDC.ADABACD.ADBC04.COBOOCOA等于()A.ABB.BAC.ACD.CA5.化简SPPSQPOP的结果等于()A、QPB、OQC、SPD、SQ6.(如图)在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆ABOCB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆AB∥DEC新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆ADBED新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆ADFC7.下列等式中,正确的个数是()①abba②abba--③0aa④(a)a⑤a(a)0A.5B.4C.3D.28.在△ABC中,ABa,ACb,如果a||b||,那么△ABC一定是().A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形9.在ABC中,BCa,CAb,则AB等于()A.abB.(ab)C.abD.ba10.已知a、b是不共线的向量,ABab,ACab(、R),当且仅当()时,A、B、C三点共线.1A1B1C1D二.填空题(每题5分)11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12.ABCD的两条对角线相交于点M,且ABa,ADb,则MA______,MB______,MC______,MD______.13.已知向量a和b不共线,实数x,y满足byxabayx)2(54)2(,则yx______14.化简:①ABBCCD______;②ABADDC______;③()()ABCDACBD______15.化简下列各式:(1)FABCCDDFAB______;(2)()()ABMBBOBCOM______.16.在ABCD中,ABa,ADb,则AC______,DB______.17.在四边形ABCD中有ACABAD,则它的形状一定是______18.已知四边形ABCD中,1ABDC2,且ADBC则四边形ABCD的形状是______.19.化简:)()(BDCPBADPAC______.20.在△ABC中,设BCa,CAb,则AB=______三.解答题(每题10分)21.某人从A点出发向西走了10m,到达B点,然后改变方向按西偏北60走了15m到达C点,最后又向东走了10米到达D点.(1)作出向量AB,BC,CD(用1cm长线段代表10m长);(2)求DABDCA66CDABNM22.如图,在梯形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,E、F分别是AC和BD的中点,分别写出(1)图中与EF、CO共线的向量;(2)与EA相等的向量.23.在直角坐标系中,画出下列向量:(1)a2,a的方向与x轴正方向的夹角为60,与y轴正方向的夹角为30;(2)a4,a的方向与x轴正方向的夹角为30,与y轴正方向的夹角为120;(3)a42,a的方向与x轴正方向的夹角为135,与y轴正方向的夹角为135.24.在ABC所在平面上有一点P,使得ABPCPBPA,试判断P点的位置.25.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB边中点,点N在BD上且BDBN31,求证:M、N、C三点共线.77参考答案一.选择题(每题5分)1.C2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.A9.B10.D二.填空题(每题5分)11.圆12.111(ab),(ab),(ab)222,1(ba)213.114.①AD;②CB;③015.(1)0(2)AC16.ab,ab-17.平行四边形18.等腰梯形19.020.ba三.解答题(每题10分)21.【解答】(1)如图,(2)∵CDAB,故四边形ABCD为平行四边形,∴)m(15DABC22.【解答】与EF共线的向量有AB、CD;与CO共线的向量有CE,CA,OE,OA,EA;与EA相等的向量是CE23.【解答】24.【解答】PAPBPCABPAPAABPCAB,故PCPA2A、P、C三点共线,且P是线段AC的三分点中靠近A的那一个25.【解答】提示:可以证明MC3MNCDABNM