第三章参数估计第四章假设检验

第三章参数估计2.区间估计一般可用在食品药品某些主要指标的含量以及产品的使用寿命等数字特征。用样本区推断总体的性质。设总体为X,含未知数θ，12,,......,nXXX是样本，11122212,,....,,,,....,.......nnXXXXXX都是样本的函数（不含任何未知参数）。对01,使得12()1,P即未知数以大概率100（1）%落在区间12,内，称（1）为置信度（可相信的程度）为12,为的置信区间。12,分别为置信上下限。以上过程称为对的区间估计，可分为双侧与单侧区间估计。一般设总体2~,,Nu单个正态总体的2,u作区间估计。例1:某厂生产一批清漆，为考虑该批清漆的平均干燥时间及离散程度，任取n=9个样本。测得干燥时间分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小时；设总体X的干燥时间服从一般正态分布，即2~,,Nu（1）若2=0.36，求平均干燥时间95%的置信区间；解：1总体的方差2已知对u作区间估计，取统计量分布：~(0,1)XuUnN2对0.05查表取/20.0251.96ZZ双侧区间估计，如图使/21PUZ3将XuUn代入即/2/2/2/2/2()()1()XUPXXPXXuXXnnuXXn4.由样本值0.0251(6.05.7......5.0)6.090.6,9,1.960.6(6.01.96)5.608,6.3929xnXu5.可认为该批产品的平均干燥时间为95%的可能性落在区间5.608,6.392（2）2u95%未知，求的的置信区间。2221.~(1)/XUTtns未知，用S代替，取统计量的分布/20.0252.0.05(1)(8)2.306an，双侧区间估计，取tt如图示使/2/2/2/2/2/2((1))13.((1)(1))((1)(1))1[(1)]PTtnXUPtnntnPXtnuXtnsnnuXtnn代入4.带样本值，x=6.0222122220.0251()11(6.05.7.....5.096)0.33910.574(8)2.306,90.5746.02.3065.558,6.4429niiSxnxnStnu5．可以认为该批产品当方差未知时，平均干燥时间95%的可能性落在区间5.558,6.442内。（3）求2的95%的置信区间。1.取统计量的分布22221~(1)nsn22/20.025221/20.9752221/2/22.0.05,(1)(8)1.7535(1)(8)2.18P((1)(1))=1-nnnn对双侧取使如图：3.代2221ns有221/2/2222222/21/222222/21/2221P((1)(1))=(1)(1)P(1-(1)(1)(1)(1),(1)(1)4.0.33980.3380.33,0.1505,1.21117.5352.18nnnnsnsnnnsnsnnsn由样本值，5.可以认为该批产品平均干燥时间的方差为95%的可能性落在区间0.1505,1.211内例2.单侧区间估计科学上重大发现往往是年轻人作出的，美国科学院统计了15世纪到20世纪12名科学伟人。（1）哥白尼1543年日心学说40岁（2）伽利略1600年天文学，望远镜34岁（3）牛顿1665年三大定律，微积分23岁（4）富兰克林1746年电的本质40岁（5）拉瓦锡1774年氧气及燃烧本质31岁（6）莱尔1830年地球的演化过程33岁（7）达尔文1858年生物进化论49岁（8）麦克斯维尔1864年光磁电场33岁（9）居里1896年放射性34岁（10）普朗克1911年量子论43岁（11）爱因斯坦1905年广义狭义相对论26岁（12）薛定谔1926年量子论数学基础39岁求重大发现伟人年龄的上限。解答：取~(1)/XTtnsn单侧估计0.052222220.05,(1)(11)1.79591/124034....3935.421/114034...391235.427.23tntxs((1))1((1))1(1)35.427.23/121.795939.15XPntnsXPntnssuXtnn或者基于该统计，数学最高奖菲尔兹奖（四年一次）只奖给40岁以下的年轻人。第四章．假设检验统计判断一般分为两大类：一类是对未知参数做点估计，另一类是对总体的分布和未知参数的某些特性作假设检验。假设检验首先为提出假设，据假设选取适合的统计量及分布，用样本区推断假设的合理性。假设检验是概率中的反证法。1．对参数的假设检验其步骤是先对参数提出假设，如H0:μ=μ0检验总体的均值。μ0为额定的标准，H。称其为假设。及H1μ=μ0，称H1为备择或对立假设。由检验均值选择统计量（若方差2未知）~(1)/XUTtns/2/201,(1),(1)tntn对取使P=(T)=为显著性水平，双侧检验。统计推断的基本原理是：小概率事件在一次随机试验中几乎不会发生。若小概率事件发生，则说明假设不真，则有拒绝域w。如/2(1)tnT，在H。为真的条件下，由样本值去推断是否在拒绝域内，做出对总体的某些特性是拒绝域或是接受的推断。例1某盐业公司用一台包装机包装精装碘盐，额定标准每袋净重u。=500g,随机抽取n=9,其净重分别为497、506、518、524、488、511、510、515、512。对=0.05，检验包装机工作是否正常，推测（假设每袋净重X~N(u，215)，标准差15g由以往经验得到。解：（1）HO:μ=μ0=500gH1:μ≠μ0。（2）由总体标准差，已知选取统计量及其分布。~N(0,1)XTn称为U检验法。（3）对显著性水平/20.0250.05X=X=1.96，查表取/2/2UXUXXn使P=()=拒绝域41/9497506....512509H509500U91.81.9615x（）由样本值当。成立时，u=500（5）小概率事件没有发生，样本值不在拒绝域内，接受H。，即认为包装机工作正常。说明：假设检验提出假设时有可能假设错误。一般可用区间估计作验证。在本例体中，/215(1)5091.96499.2,518.89uXtnn500499.2,518.8例2：某厂生产某种固体燃料，其燃烧率29(40,)XN,额定标准u。=40cm/s。现给出一种新生长方法，任取新方法生产的产品n=25根产品，测得41.25/xcms。样本标准差S=2.0,对0.025，检验新方法较原方法生产的固体燃料其燃烧率是否有所提高。解：（1）H0:μ=μ0（反假设，一般否定H。比肯定H。更具说服力）H1:uu。（2）总体方差2未知，检验总体u，取~t(1)XUTnns（3）对显著性水平0.025，取(1)tn=0.025(24)2.0639t单侧检验（检验不等式是单侧检验）使(1)Ptn,拒绝域w,~t(1)(1)XUTnntns当H。成立时，uu。-u-u。,XUXUnnss。则拒绝域w:(1)XUntns(4)由样本值41.25/xcms，u。=40，n=25,s=241.2540253.1252T＝2.0639(5)样本值在拒域内的小概率事件发生，拒绝H。，接受H1，即认为新方法生产的产品燃烧率有显著性提高。例3：两个正态总体的假设检验假设两个公司生产同类型电子产品，其使用寿命分别为211~,,Nu222~,,YNu为检验两个公司产品的质量是否一致。任取n1=9个样本，测得2211532,423xs，n2=18个样本，测得2221412,380ys；对0.005检验：两个公司的生产的同类电子产品的质量是否有显著性差异。解答：（1）首先检验正态总体的均值差1.H。u1-u2=0或者u1=u2H1  u1u22在22212条件下取统计量及其分布12~t(122)1112PXYUUTnnSnn其中22121121122PnSnSSnn3对显著性水平0.05,查表/20.025t(122)252.0595nnt使得/2((122))PTtnn在H。成立下u1=u2拒绝域/2t(122)1112PXYTnnSnn222114.0.4082591891423181380394.279182PS由样本值5．样本值不在拒绝域内，小概率事件没有发生。即可认为两家公司产品的寿命没有显著性差异。（2）检验产品使用寿命的方差比1.H。2212H122122.选取统计量及其分布2121222211,21SFFnnS3对显著性水平对显著性水平0.05,查表0.025/20.9751/211,218,173.0611,218,170.2463FnnFFnnF使得1/2/2(0(11,21))((11,21))PFFnnPFnnF拒绝域w：1/2/20(11,21)(11,21)FFnnFnnF或者双侧检验4由样本值不在拒绝域内，接受H。，即可认为产品使用寿命方差没有显著性差异。综合（1）（2）可以认为两家公司生产同类产品质量没有显著性差异。例4据推测工作和经历相类似的人群中，矮个子人的寿命较高个子人寿命：美国科学院统计了31位自然死亡的总统，其中5位个子矮5’8’’,5英尺8寸，1英尺=0.304785米,5’8’’=1.77m;26位高个子5’8’’5位矮个子总统身高从1.65~1.74m，寿命从65~90岁；26位高个子总统从1.77~1.97m,寿命从53~90。矮、高个子的寿命分别是X、Y.221122XN(u,),YN(u,)。解答：H。u1=u2，反假设否定H。更有说服力H1  u1u2在方差相等的条件下，选取12~t(122)1112PXYUUTnnSnn不等式检测，单侧检测，对显著性水平：0.05t(122)291.6991nnt拒绝域，当H。成立时，u1u20（）12t(122)11111212PPXYUUXYTnnSSnnnn由样本值2222112212280.2,73.7;69.2,86.811219.2212211110.4881252680.269.22.4451.69919.220.488PxsysnSnSSnnnnT小概率事件发生，拒绝H。，推测成立。3.两类错误假设检验作统计推断是基于小概率事件在一次随机试验几乎不会发生的原理。但并不说明小概率事件不会发生。由此假设检验作统计推断时可能发生两类错误：（1）弃真错误（第一类