第三章存在和唯一性定理

第三章存在和唯一性定理习题3-11利用Osgood条件讨论下列微分方程满足初值条件0)0(y的解的唯一性问题：.),(),(,),()0(,).1(2121yyyxyxyyxydxdy解：1°).(12121rFryyyy时，当.|lnln0101rrrdrrr且2°.)(,112121yyxyyyy时，当0lnln0ln021121211212121||,)('),,(111111rrrrrrrdryyyyyyyyyyyy且故3°,121121yyyy时，当不能判断。解唯一，故,1,1.0||0lnln0ln01111111rrrrrrrdr.0;ln00).2(解：；yyyydxdy1°解唯一故又当,0,0)(,,00yycydxdy2°2211'lnln,1ln)(,ln),(,lnyyyyyxyyyxyyydxdy当条件，解唯一。故满足而sgoodrdryyMyyrMrMrO|ln1ln11010121212．试求初值问题：0)0(,1yyxdxdy的毕卡序列，并由此取极限求解。解：初值问题等价于积分方程，xdxyxxy0)1()1(0)(故毕卡序列的形式为)3(21)!1(!12)!1(!)!1()!1(!2)!1(!)!1()(222323234)123()(23)12()(2)10()()2()1()(121112112233402332302220101xxnxnxxxnxnxnxxnxnxxnxnxnxxyxxxxxxdxxxxxxyxxxdxxxxxyxxdxxxydxyxxynnnnnnnnnnnxxxxnn即利用泰勒展式1!1nnxnxe222)!11()!11()(2)!11()!11()(111111limxexxixixyxxixixyxiiniinnininiin3．设连续函数是递减的，则初值问题对yyx),()(.)(),,(00Eyxyyxdxdy)()(,sup),()(,),()(),()()(211012110102012100xyxyxxxxyxyxxxyxyxyxyxxxx令使得且存在和证明：设有两个解例）是否唯一？能举一个反问左侧解）的解是唯一的。（或在右侧（即不唯一。显然左侧解易得例如：故左侧不一定。。矛盾，右侧唯一性得证又因且)0(,12;1)0(,10),(),()('0)(',0)(,),()()(221211021xxyyydxdyyxyxdxdydxdyxrrrxxxyxyxr