第三章第八节正弦定理和余弦定理的应用

一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.16B.17C.18D.19解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.答案：D2．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A．14米B．15米C．16米D．17米解析：如图，设DN＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．答案：C3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10米B．102米C．103米D．106米解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CDsin45°sin30°＝102.在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BCtan60°＝106.答案：D4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案：A5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里解析：如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，即AB＝40×12＝20(海里)．∴∠BCA＝45°.∴由正弦定理可得：ABsin45°＝BCsin30°.∴BC＝20×1222＝102(海里)．答案：A二、填空题6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.∴xsin45°＝10sin60°.∴x＝1063.答案：10637．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302．答案：302三、解答题8．(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6km的C，D两地测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°，所以∠CAD＝60°因为CDsin∠CAD＝ADsin∠ACD，所以AD＝CD×sin∠ACDsin∠CAD＝6×2232＝26.在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，∠BDC＝15°，所以∠CBD＝135°因为CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，所以BD＝CD×sin∠BCDsin∠CBD＝6×1222＝32.又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°所以△ABD是直角三角形．所以AB＝AD2＋BD2＝262＋322＝42.所以电线长度至少为l＝1.2×AB＝6542(单位：km)答：施工单位至少应该准备长度为6542km的电线．9．(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成θ角，求f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx(x∈R)的值域．解：(1)连接BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.∴BC＝107，即所求距离为107海里．(2)∵sinθ20＝sin120°107，∴sinθ＝37.∵θ是锐角，∴cosθ＝47.f(x)＝sin2θsinx＋34cos2θcosx＝37sinx＋37cosx＝237sinx＋π6，∴f(x)的值域为－237，237.10．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得OPsin∠PCO＝CPsinθ，∴2sin120°＝CPsinθ，所以CP＝43sinθ.又OCsin60°－θ＝2sin120°，∴OC＝43sin(60°－θ)．因此△POC的面积为S(θ)＝12CP·OCsin120°＝12·43sinθ·43sin(60°－θ)×32＝43sinθsin(60°－θ)＝43sinθ32cosθ－12sinθ＝23cos2θ－60°－12，θ∈(0°，60°)．所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为33.