第三讲裂项

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1)nn型分数求和分析：因为111nn＝11(1)(1)(1)nnnnnnnn（n为自然数）所以有裂项公式：111(1)1nnnn【例1】求111......101111125960的和。111111()()......()101111125960111060112（二）用裂项法求1()nnk型分数求和分析：1()nnk型。（n,k均为自然数）因为11111()[]()()()nknknnkknnknnknnk所以1111()()nnkknnk【例2】计算11111577991111131315111111111111111()()()()()2572792911211132131511111111111[()()()()()]2577991111131315111[]2515115（三）用裂项法求()knnk型分数求和分析：()knnk型（n,k均为自然数）11nnk＝()()nknnnknnk＝()knnk所以()knnk＝11nnk【例3】求2222......1335579799的和1111111(1)()()......()33557979911999899（四）用裂项法求2()(2)knnknk型分数求和分析：2()(2)knnknk（n,k均为自然数）211()(2)()()(2)knnknknnknknk【例4】计算：4444......13535793959795979911111111()()......()()1335355793959597959797991113979932009603（五）用裂项法求1()(2)(3)nnknknk型分数求和分析：1()(2)(3)nnknknk（n,k均为自然数）1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)nnknknkknnknknknknk【例5】计算：111......12342345171819201111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920113920520（六）用裂项法求3()(2)(3)knnknknk型分数求和分析：3()(2)(3)knnknknk（n,k均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)knnknknknnknknknknk【例6】计算：333......1234234517181920111111()()......()1232342343451718191819201112318192011396840分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）（2）裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式【答案】【例2】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【答案】【巩固】【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式【答案】【巩固】计算：【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例1】计算：【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学原式【答案】【巩固】_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：【答案】【例1】计算：【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】原式【答案】【例1】计算：【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】原式【答案】【巩固】计算：____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，学而思杯，6年级【解析】原式【答案】计算：．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，四中【解析】原式【答案】【例1】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出原式【答案】【巩固】计算：【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】【答案】【例1】【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例2】计算：．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】