第九章学案54直线与圆锥曲线的位置关系

学案54直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ0，则直线与椭圆________．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．(3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程(1)AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝________，kAB·kOM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px(p0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.自我检测1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．82．(2011·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0)B.116，0C．(－1,0)D.0，－1163．(2011·许昌模拟)已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0(a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是()4．(2011·杭州模拟)过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为()A．－12B．－14C．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1已知抛物线C的方程为x2＝12y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－22∪22，＋∞C．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AOB的面积为S.(1)求在k＝0,0b1的条件下，S的最大值；(2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2已知椭圆的两焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，离心率e＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3(2011·开封模拟)直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．变式迁移3在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例(12分)已知椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；(2)求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解(1)双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba1，∴∠POx＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分](2)由已知，l：y＝ab(x－c)与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0－c，y0)＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ·a2c1＋λ，y0＝λ·abc1＋λ.即Ac＋λ·a2c1＋λ，λ·abc1＋λ.[8分]将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2·22－e2＋3＝3－22＝(2－1)2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－20这个隐含条件．1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·菏泽调研)F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px(p0)通过点A，则p的值为()A.92B．2C.21313D.13133．(2011·武汉月考)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.37164．已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于()A.13B.23C.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011届合肥期末)若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．8．(2010·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM→＝MB→，则p＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．10．(12分)(2010·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA→·QB→＝4，求y0的值．11．(14分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．学案54直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理1．(1)相交相切相离(2)①相交相切相离②一个(3)②平行一个2.(1)－b2x0a2y0－b2a2(2)b2x0a2y0py0自我检测1．C2.C3.C4.B课堂活动区例1解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.当Δ＝72k2－480，即k63或k－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－480，即－63k63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1D[直线AB的方程为y＝4tx－1(t＝0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以Δ＝4t2－20，解得t2或t－2.]例2解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.(2)由y＝kx＋bx24