第二十二章四边形复习

第1页版权所有不得复制年级初二学科数学版本冀教版内容标题四边形综合提高编稿老师巩建兵【本讲教育信息】一.教学内容：1.几种特殊四边形的概念和主要特征．2.多边形的内角和与外角和．3.总结常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．二.知识要点：1.主要概念（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（有一组邻边相等的矩形叫做正方形）．（5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形．（6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2.几种特殊四边形的关系四边形平行四边形梯形矩形菱形正方形直角梯形等腰梯形3.几种特殊四边形的主要特征边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形矩形对边平行且相等四个角都相等对角线互相平分且相等轴对称图形，中心对称图形菱形对边平行，四边都相等对角相等对角线垂直平分轴对称图形，中心对称图形正方形对边平行，四边都相等四个角都相等对角线垂直平分且相等轴对称图形，中心对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等两条对角线相等轴对称图形第2页版权所有不得复制4.几种特殊四边形的区别（1）平行四边形从边看——两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等从角看——两组对角分别相等从对角线看——对角线互相平分（2）矩形从角看——有三个角是直角的四边形有一个角是直角的平行四边形从对角线看——对角线相等且互相平分的四边形对角线相等的平行四边形（3）菱形从边看——四条边都相等的四边形有一组邻边相等的平行四边形从对角线看——对角线互相垂直平分的四边形对角线互相垂直的平行四边形（4）正方形从边看——有一组邻边相等的矩形从角看——有一个角是直角的菱形5.解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、旋转、轴对称来构造图形，解决四边形问题．三.重点难点：本章重点是平行四边形的有关特征和识别，几种特殊平行四边形的特征以及它们之间的联系与区别，等腰梯形的特征；难点是几种特殊平行四边形的联系与区别，关键是理解并掌握平行四边形的有关知识．四.考点分析：四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．【典型例题】例1.（1）如图，在△ABC，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若平移△ADF，则图中能与它重合的三角形是__________（写出一个即可）．第3页版权所有不得复制第（1）题④③②①第（2）题ABCDEF（2）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②所示），其中完整的圆共有5个；如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③所示），其中完整的圆共有13个；如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④所示），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有__________个．分析：（1）与△ADF重合的三角形必与它全等．因为点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，不难判断△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD．（2）观察图中的数量关系发现：2×2的图案中圆的个数为22＋12＝5；3×3的图案中圆的个数为32＋22＝13；4×4的图案中圆的个数为：42＋32＝25；…总结规律为：n×n的图案中圆的个数为：n2＋（n－1）2．故在10×10的图案中圆的个数为102＋92＝181（个）．解：（1）△DBE（或△FEC或EFD）（2）181例2.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．ABCDEABCD分析：四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决．作DE∥AC交BC的延长线于点E，则DE＝AC＝12，因为AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在Rt△BDE中，BD＝9，DE＝12，所以BE＝15．又AD＝CE．所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．解：15评析：若题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．例3.已知，如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，试说明BP＋DQ＝PQ．ABCDPQABCDPQE分析：由于BP和DQ不在一条直线上，需把它们转化到一条直线上，将△AQD绕点A顺时针旋转90°，即可实现这一转化．解：由于正方形四条边都相等，四个角都是直角，所以将△ADQ以A点为中心顺时针旋转90°，得△ABE，所以BE＝DQ，AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE．第4页版权所有不得复制又因为∠PAQ＝45°，所以∠DAQ＋∠PAB＝45°，即∠EAB＋∠PAB＝∠EAP＝45°，则△AEP≌△AQP，所以PE＝PQ，即BP＋DQ＝PQ．评析：旋转变换前后的图形是全等的，利用旋转可把分散的线段或角相对集中到一起，有利于问题的解决．例4.如图所示，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）说明四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，请说明此时四边形ABCD是正方形．ABCDOE分析：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，只要说明AD＝CD就可以证明平行四边形ABCD是菱形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形，所以本题只要说明∠ADC是90°即可．解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝CO．又因为△ACE是等边三角形，所以EO⊥AC，即DB⊥AC．所以四边形ABCD是菱形．（2）因为△ACE是等边三角形，所以∠AEC＝60°．因为EO⊥AC，所以∠AEO＝12∠AEC＝30°．因为∠AED＝2∠EAD，所以∠EAD＝15°．所以∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°．因为四边形ABCD是菱形．所以∠ADC＝2∠ADO＝90°．所以四边形ABCD是正方形．评析：特殊四边形的识别方法很多，要根据题意选择合适的识别方法．例5.如图所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，猜想BE与CF的数量关系，并加以说明．ABCDEF123分析：由DE∥BC，EF∥AC，得平行四边形DEFC，于是FC＝DE．由∠1＝∠2，∠2＝∠3得∠1＝∠3，于是BE＝DE．则BE＝CF．解：BE＝CF，理由如下：第5页版权所有不得复制因为DE∥BC，所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠3，所以DE＝BE．因为DE∥BC，EF∥CD，所以四边形DEFC为平行四边形．所以DE＝CF，所以BE＝CF．评析：这类题目的特点是结论开放，需要根据题意去探索．例6.在学习梯形时，王老师向全班同学提出了如下问题：如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，现要求添加一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形（AD＝BC除外）．以下是四名同学添加的条件：甲生：∠A＝∠B，乙生：∠B＋∠D＝180°，丙生：∠A＝∠D，丁生：梯形ABCD是轴对称图形．你认为哪些同学添加的条件符合要求？答：__________，理由是__________，你能添加其他的一个条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？ABCD分析：本题的实质是考查等腰梯形的识别，解决问题的关键是熟练掌握等腰梯形的识别方法，从角、对角线、对称性三个角度添加直接条件或间接条件．解：甲生从同一底上的两个角进行判定；乙生从对角间的关系进行限定，由于AB∥CD，故∠B＋∠C＝180°，从而可知∠C＝∠D；丁生从对称性进行限定．这些条件都能使梯形ABCD成为等腰梯形．对于丙生的限定，由于∠A＋∠D＝180°，故∠A＝∠D＝90°，从而梯形ABCD是直角梯形，而不是等腰梯形．故甲、乙、丁三名学生符合要求．还可以从对角线进行限定如AC＝BD．【方法总结】1.化归思想贯穿于本章学习内容的始终，对于四边形的性质和识别，往往通过变四边形为三角形，变一般四边形为平行四边形进行研究．2.巧作辅助线，常见的辅助线有：（1）过四边形的一个顶点作垂线；（2）作四边形的一边的平行线；（3）作四边形对角线的平行线；（4）过三角形（或梯形）一边中点作平行于另一边（或底边）的平行线．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题1.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形2.如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于E、F，如果阴影部分的面积第6页版权所有不得复制为12，那么矩形的面积为（）A.60B.48C.40D.363.不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A.AB∥CD且AB＝CDB.AB＝AD、BC＝CDC.AB＝CD，AD＝BCD.∠A＝∠C，∠B＝∠D4.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直且平分C.四条边都相等D.对角线平分一组对角5.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形*6.如图所示，平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）A.20°B.25°C.30°D.35°DABCE7.如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，平行四边形ABCD的周长是（）A.24B.18C.16D.12ABCDMN**8.如图所示：将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（）A.90°＜α＜180°B.α＝90°C.0°＜α＜90°D.α随着折痕位置的变化而变化ABCDEHGF二.填空题1.四边形的内角和等于__________°，外角和等于__________°．2.正方形的面积为4，则它的边长为__________，一条对角线长为__________．3.一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是__________边形．第7页版权所有不得复制*4.如果四边形ABCD满足____________________条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．5.已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为__________．*6.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，BC＝5，AB＝4，AE＝3，则AF的长为__________．ABCDEF7.已知，如图所示，△ABC三边的中点分别为D、E、F，如果AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，那么△DEF的周长是__________cm．ABCDEF*8.如图：矩形纸片ABCD，AB＝2，点E在BC上，且AE＝EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________．ABCDE三.解答题1.已知：如图所示，平行四边形ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE＝DF．试说明AC与EF互相平分．ABCDEFO2.如图所示，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE＝OF，连结BE，连结CF并延长交BE于点G，试说明∠ACG＝∠DBG．ABCDOEFG第8页版权所有不得复制3.如图所示，小明画了一个梯形ABCD，AB∥CD，∠C＝76°，∠D＝52°，他通过测量发现BC＝DC－AB．但他说不出为什么，你能帮助他找出原因并说明理