第二型曲线曲面积分的计算方法

第二型曲线曲面积分的计算方法PB07210153刘羽第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。1．第二型曲线积分计算方法向量场FPiQjRk，是曲线L上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分LLPdxQdyRdzFdl为第二型曲线积分，右端是F在L上第一型曲线积分。这里要理解的方向性，dxidl是有向曲线微元dl在Ox轴方向投影，dx可正可负（与定积分不同），这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。计算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用Green公式和Stokes公式。（1）定义法当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。（2）参数法参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小）。设有向曲线L的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应t=a，终点对应t=b，则LPdxQdyRdz[((),(),())'()((),(),())'()((),(),())'()]baPxtytztxtQxtytztytPxtytztztdt计算时只要将所有量（包括微分量）用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。例1求曲线积分Lydxzdyxdz，其中L是2xy与2222()xyzxy的交线，从原点看去是逆时针方向。解：在曲线L满足的方程组中消去y并化简得222(1)2xz，可知L在Ozx平面上的投影曲线是椭圆222(1)2xz，注意到坐标原点在平面2xy的x的一侧，所以从x轴正方向看曲线是顺时针方向。设2cos,1sin,21sin,02ztxtyxtt，且其方向是参数减少方向，从而Lydxzdyxdz02[(1sin)cos2cos(cos)(1sin)(2sin)]ttttttdt20222dt（3）利用第二型曲线积分的性质，如用分段法，分项法，方向性来简化计算。（4）利用Green公式和Stokes公式。Green公式：()LDQPPdxQdydxdyxyStokes公式：()()()LSRQPRQPPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyyzzxxy要注意两个公式都只对闭合曲线成立，有时当所求曲线部分十分复杂而非闭合部分仅为一条直线或简单曲线时，可采用补线法进行计算，这时要特别注意方向性，最好画图避免错误。Green公式的一个应用Green公式可以求平面闭合曲线围成区域的面积：LLDSdxdyxdyydx2.第二型曲面积分计算方法向量场vPiQjRk，n是指向双侧曲面定侧的单位法向量，称形式积分SSPdydzQdzdxRdxdyvndS为第二型曲面积分，右端是vn在曲面S上的第一型曲面积分。这里要理解dydzindS，其大小为dS在Oyz平面上投影的大小，其符号由n与i的夹角是锐角或钝角而定，是有正负的，是有向面积元ndS在Oyz平面上投影。计算第二型曲面积分的常用方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，以及利用高斯公式求解等。（1）定义法当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法。（2）参数法常用球面参数和柱面参数：球面参数：sincos,sinsin,cosxRyRzR，可推广到椭球面。柱面参数；cos,sin,xayazz其他参数由于计算复杂使用不多。（3）单一坐标平面投影法（参数法特例）设以Oxy平面为投影面SPdydzQdzdxRdxdy('')xyDzPzQRdxdy以Oyz,Ozx平面为投影面情况类似。（4）分项投影法分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：SPdydzQdzdxRdxdySSSPdydzQdzdxRdxdy分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于1SDPdydzPdydz，1SDPdydzPdydz，1SDPdydzPdydz分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用。计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分片投影，如一个完整的球投影到Oxy平面上，上下半球曲面要分别投影计算。计算中注意利用方向性等性质以简化计算。例2计算2Sydzdxzdxdy，其中S是椭球面222144xyz，外侧。此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是163。（5）利用高斯公式Gauss公式：()SVPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyx注意公式只对闭合曲面成立，Gauss公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解。如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断。第二型曲线曲面积分是场论知识的数学抽象，以上并没有涉及梯度，散度，旋度，有势场等场论的概念，以及Stokes公式和Gauss公式的向量形式。在此类积分计算时应注意一些基本方法的掌握，一些细节如方向性的注意也很重要，此外做题练习也是很有必要的。