第二章圆锥曲线与方程总结

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px(p0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4若直线l：y＝kx＋m与椭圆x24＋y23＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．例6已知F1、F2为椭圆x2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．章末总结重点解读例1解如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵e＝ca＝2，∴c＝2a.由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)，即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①又S△PF1F2＝123，∴12|PF1||PF2|sin60°＝123，即|PF1||PF2|＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的双曲线方程为x24－y212＝1.例2(1)解过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋40，x1x2＝4，x1＋x2＝4＋2k2，∵M、N两点在抛物线上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16，而y1·y20，∴y1y2＝－4.例3解设直线OA的方程为y＝kx(k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－xk，进而可求A4pk2，4pk、B(4pk2，－4pk)．于是直线AB的斜率为kAB＝k1－k2，从而kOM＝k2－1k，∴直线OM的方程为y＝k2－1kx，①直线AB的方程为y＋4pk＝－kk2－1(x－4pk2)．②将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③又k2x－ky＝x，代入③式并化简，得(x－2p)2＋y2＝4p2.当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)上．∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．例4证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋m，x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，则Δ＝64m2k2－163＋4k2m2－30，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2.即3＋4k2－m20，x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－4k23＋4k2.∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3m2－4k23＋4k2＋4m2－33＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0.∴7m2＋16km＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－2k7，且均满足3＋4k2－m20.当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m2＝－2k7时，l的方程为y＝kx－27，直线过定点27，0，∴直线l过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋210.又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|＝10－(|MA′|－|MB|)≥10－|A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－210.例6解由题意，|F1F2|＝2.设直线AB方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则xA＋xB＝－2kk2＋2，xA·xB＝－1k2＋2，∴|xA－xB|＝8k2＋1k2＋2.S△ABF2＝12|F1F2|·|xA－xB|＝22×k2＋1k2＋2＝22×1k2＋1＋1k2＋1≤22×12＝2.当k2＋1＝1k2＋1，即k＝0时，S△ABF2有最大面积为2.