第二章圆锥曲线与方程综合检测(人教A版选修1-1)

综合检测(二)第二章圆锥曲线与方程(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·青岛高二检测)椭圆2x2＋3y2＝6的长轴长是()A.3B.2C．22D．23【解析】椭圆方程可化为x23＋y22＝1，∴a2＝3，a＝3，2a＝23.【答案】D2．(2013·大连高二检测)θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解析】由sinθ∈[－1,1]，∴当sinθ＝1时，表示圆；当sinθ∈[－1,0)表示双曲线；当sinθ∈(0,1]时表示椭圆；sinθ＝0表示两条直线．【答案】C3．(2013·吉林高二检测)已知双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率为()A.54B.53或76C.54或53D.65或54【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，ba＝34，所以e＝ca＝1＋b2a2＝54；当焦点在y轴上时，ba＝43，所以e＝1＋b2a2＝53，所以e＝54或53.【答案】C4．若椭圆x225＋y216＝1与双曲线x2a2－y25＝1有共同的焦点，且a＞0，则a为()A．2B.14C.46D．6【解析】依题意25－16＝a2＋5，∴a2＝4.又a＞0，∴a＝2.【答案】A5．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为()A．64B．32C．16D．4【解析】设OM的斜率为k，则ON的斜率为－1k，从而直线OM∶y＝kx，联立方程y2＝4x，y＝kx，解得M的横坐标x1＝4k2，同理得N的横坐标x2＝4k2，∴x1x2＝16.【答案】C6．一动圆的圆心在抛物线x2＝8y上，且该动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必经过的定点为()A．(0,2)B．(2,0)C．(1,0)D．(0,1)【解析】由x2＝8y知，焦点F(0,2)，准线y＝－2，依题意和抛物线的定义，圆必过焦点(0,2)．【答案】A7．(2013·石家庄高二检测)设k＜3，k≠0，则二次曲线x23－k－y2k＝1与x25＋y22＝1必有()A．不同的顶点B．不同的准线C．相同的焦点D．相同的离心率【解析】当0＜k＜3时，0＜3－k＜3.∴x23－k－y2k＝1表示实轴为x轴的双曲线，a2＋b2＝3＝c2.∴两曲线有相同焦点；当k＜0时，－k＞0且3－k＞－k，∴x23－k＋y2－k＝1表示焦点在x轴上的椭圆．a2＝3－k，b2＝－k.∴a2－b2＝3＝c2.与已知椭圆有相同焦点．【答案】C8．(2013·岳阳高二检测)已知动点P到两定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之和为23λ(λ≥1)，则点P轨迹的离心率的取值范围为()A．[33，1)B．(33，32]C．(0，33]D．(33，1)【解析】由题意，|PF1|＋|PF2|＝23λ＞2＝|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆，其中a＝3λ，c＝1.故e＝13λ≤13，∴e∈(0，33]．【答案】C9．AB为过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的中心的弦，F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A．acB．abC．bcD．b2【解析】△ABF1的面积为c·|yA|，因此当|yA|最大时，即|yA|＝b时，△ABF1的面积最大，最大值为bc.【答案】C10．双曲线x2a2－y22＝1(a＞2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为()A.233B.263C.3D．2【解析】如图，双曲线的渐近线方程为：y＝±2ax，若∠AOB＝π3，则θ＝π6，tanθ＝2a＝33，∴a＝6＞2.又∵c＝6＋2＝22，∴e＝ca＝226＝233.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．抛物线y＝x2a(a≠0)的准线方程为________．【解析】∵y＝x2a，∴x2＝ay，焦点在y轴上．∴2p＝a，∴p2＝a4.准线方程为：y＝－a4.【答案】y＝－a412．(2013·厦门高二检测)以抛物线y2＝83x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±3y＝0的双曲线方程为________．【解析】抛物线y2＝83x的焦点F(23，0)，设双曲线方程为x2－3y2＝λ，4λ3＝(23)2，∴λ＝9，故双曲线的方程为x29－y23＝1.【答案】x29－y23＝113．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.【解析】设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则sinA＋sinCsinB＝a＋cb.∵A(－4,0)，C(4,0)，∴b＝8，又∵点B在椭圆x225＋y29＝1上，∴|BA|＋|BC|＝10＝a＋c，∴a＋cb＝108＝54.【答案】5414．若方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为________．【解析】由焦点在y轴上的双曲线的方程可知，满足题意的m需满足5－m＜0m2－2m－3＞0，解得m＞5.故实数的取值范围为(5，＋∞)．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1的长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.求点P的坐标．【解】由已知可得点A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)，∴x236＋y220＝1，x＋6x－4＋y2＝0，解得x＝32或x＝－6.由于y＞0，所以x＝32，于是y＝532，所以点P的坐标是(32，532)．16．(本小题满分12分)(2013·宁波高二检测)已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，－22)，F2(0,22)，且离心率e＝223.(1)求椭圆的方程；(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为－12，求直线l斜率的取值范围．【解】(1)设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，由已知c＝22，又ca＝223，解得a＝3，所以b＝1，故所求方程为y29＋x2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋t(k≠0)，代入椭圆方程整理得(k2＋9)x2＋2ktx＋t2－9＝0，由题意得Δ＝2kt2－4k2＋9t2－9＞0，－2ktk2＋9＝－1，解得k＞3或k＜－3.即直线l斜率的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．17．(本小题满分12分)(2013·太原高二检测)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，右焦点为F(1,0)．(1)求此椭圆的标准方程；(2)若过点F且倾斜角为π4的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．【解】(1)由题意知ca＝22且c＝1.∴a＝2，b＝a2－c2＝1.故椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)由(1)知，椭圆方程为x22＋y2＝1，①又直线过点F(1,0)，且倾斜角为π4，斜率k＝1.∴直线的方程为y＝x－1.②由①，②联立，得3x2－4x＝0，解之得x1＝0，x2＝43.故|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2|0－43|＝432.18．(本小题满分14分)设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点．(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1→·PF2→的最大值和最小值；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．【解】(1)易知a＝2，b＝1，c＝3，所以F1(－3，0)，F2(3，0)．设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋1－x24－3＝14(3x2－8)．因为x∈[－2,2]，故当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1→·PF2→有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1→·PF2→有最大值1.(2)显然直线x＝0不满足题设条件，可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝kx＋2，x24＋y2＝1，消去y，整理得(k2＋14)x2＋4kx＋3＝0.所以x1＋x2＝－4kk2＋14，x1x2＝3k2＋14.由Δ＝(4k)2－4(k2＋14)×3＝4k2－3＞0，得k＞32或k＜－32，①又0°＜∠AOB＜90°⇔cos∠AOB＞0⇔OA→·OB→＞0.所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＞0.又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝3k2k2＋14＋－8k2k2＋14＋4＝－k2＋1k2＋14，所以3k2＋14＋－k2＋1k2＋14＞0，即k2＜4，所以－2＜k＜2.②故由①、②得直线l的斜率k的取值范围为(－2，－32)∪(32，2)．