第三讲克拉默法则与矩阵的概念

§1.6克拉默法则含有n个未知数nxxx,,,21的n个线性方程的方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,（1）与二、三元线形方程组相类似，它的解可以用n阶行列式表示，即有1、克拉默法则：如果线形方程组（1）的系数行列式不等于零，即,01111nnnnaaaaD那么，方程组（1）有唯一解,,,,2211DDxDDxDDxnn（2）其中),,2,1(njDj是把系数行列式D中的j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即.1,1,1,1,1111111nnnnnnnjajabjaaajabjaaD例1解线性方程组0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解,2727332770103531277212135712770212060311357067412120603115122321242122ccccrrrrD,1086701215060911582,81674021256039151821DD,270741512090318512,27604125206931181243DD于是得.1,1,4,34321xxxx2、定理1：如果线形方程组（1）的系数的系数行列式0D，则（1）一定有解，且解是唯一的.3、定理2（定理1的逆否定理）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.4、定义：线性方程组(1)右端的常数项nbbb、、、21不全为零时,线形方程组(1)叫做非齐次线性方程组,当nbbb、、、21全为零时,线形方程组(1)叫做齐次线性方程组.5、定理3：如果齐次线形方程组的系数行列式0D,则齐次线形方程组只有非零解.推论：如果齐次线形方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.例2问取何值时,齐次线形方程组0)4(2,0)6(2,022)5(zxyxzyx(1)有非零解？解：若齐次线形方程组（1）有非零解，则（1）的系数行列式0D而),8)(2)(5()6(4)4(4)4)(6)(5(402062225D由0D,得.852或、不难验证,当时或、852,齐次线形方程组(1)确有非零解.§2.1矩阵的定义6、定义：由nm个数),,2,,1;,,2,1(njmaij排成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵,简称nm矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个方括弧或圆括弧,并用大写黑体字母表示它,记作mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211只有一行的矩阵)(21naaaA称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵nbbbB21称为列矩阵,又称列向量.矩阵的行数与列数相同的矩阵称为方阵如果)()(ijijbBaA与是同型矩阵(两个矩阵行数相同，列数相同),并且它的对应元素相等,即),,2,1;,,2,1(,njmibaijij那么就称矩阵A与B相等,记作BA.元素都是零的矩阵成为零矩阵,记作O.不同型的零矩阵是不同的.矩阵)0(000000aaaaA称为数量矩阵(方阵)矩阵100010001nE称为n阶单位矩阵(方阵),简记作E.这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.另外还有三角矩阵(包括上三角矩阵和下三角矩阵)和对角矩阵,它们都是方阵,与三角行列式和对角行列式类似小结与提问:小结:本讲介绍了克拉默法则及矩阵的定义提问:有哪些不同类型的矩阵课外作业:27P12.13