第二章导数与微分总结

第二章导数与微分总结一、导数与微分概念1．导数的定义设函数xfy在点0x的某领域内有定义，自变量x在0x处有增量x，相应地函数增量00xfxxfy。如果极限xxfxxfxyxx0000limlim存在，则称此极限值为函数xf在0x处的导数（也称微商），记作0xf，或0xxy，0xxdxdy，0xxdxxdf等，并称函数xfy在点0x处可导。如果上面的极限不存在，则称函数xfy在点0x处不可导。导数定义的另一等价形式，令xxx0，0xxx，则0000limxxxfxfxfxx我们也引进单侧导数概念。右导数：xxfxxfxxxfxfxfxxx000000limlim0左导数：xxfxxfxxxfxfxfxxx000000limlim0则有xf在点0x处可导xf在点0x处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数xfy在点0x处导数0xf存在，则在几何上0xf表示曲线xfy在点00,xfx处的切线的斜率。切线方程：000xxxfxfy法线方程：010000xfxxxfxfy设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为tfS，如果0tf存在，则0tf表示物体在时刻0t时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数xfy在点0x处可导，则xf在点0x处一定连续，反之不然，即函数xfy在点0x处连续，却不一定在点0x处可导。例如，xxfy，在00x处连续，却不可导。4．微分的定义设函数xfy在点0x处有增量x时，如果函数的增量00xfxxfy有下面的表达式xoxxAy00x其中0xA为x为无关，xo是0x时比x高阶的无穷小，则称xf在0x处可微，并把y中的主要线性部分xxA0称为xf在0x处的微分，记以0xxdy或0xxxdf。我们定义自变量的微分dx就是x。5．微分的几何意义00xfxxfy是曲线xfy在点0x处相应于自变量增量x的纵坐标0xf的增量，微分0xxdy是曲线xfy在点000,xfxM处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6．可微与可导的关系xf在0x处可微xf在0x处可导。且dxxfxxAxxdy000一般地，xfy则dxxfdy所以导数dxdyxf也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念如果函数xfy的导数xfy在点0x处仍是可导的，则把xfy在点0x处的导数称为xfy在点0x处的二阶导数，记以0xxy，或0xf，或022xxdxyd等，也称xf在点0x处二阶可导。如果xfy的1n阶导数的导数存在，称为xfy的n阶导数，记以ny，xyn，nndxyd等，这时也称xfy是n阶可导。二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式'212'1'21][ffffff'3213'2132'1'321][ffffffffffff2''')(gfggfgf（2）反函数求导公式设)(xfy的反函数为)(ygx，则)]([1)(1)('''ygfxfyg（3）复合函数求导和微分公式设)(),(xguufy，则)()]([''xgxgfdxdududydxdy（4）隐函数求导法则每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出'y例：765)23sin(yxyxeyx，确定)(xyy，求'y解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量065)23)](23[cos()1('''yyyxyeyx然后把'y解出来（5）对数求导法取对数后，用隐函数求导法则)4)(3()2)(1(xxxxy)]4ln()3ln()2ln()1[ln(21lnxxxxy求导得)41312111(21'xxxxyy解出'y0xxyxxxeyln解出'yxxylnln1ln'xyy解出'y（6）用参数表示函数的求导公式设),(),(tytx则)0)('()(')('tttdtdxdtdydxdy