第二章离散型随机变量及其分布

第二章离散型随机变量及其分布§2.1.1离散型随机变量定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（randomvariable)．随机变量常用字母X,Y，，，…表示．（随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数；试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域）定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discreterandomvariable).（电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量）注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达奎屯王新敞新疆如投掷一枚硬币，=0，表示正面向上，=1，表示反面向上奎屯王新敞新疆（2）若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量奎屯王新敞新疆小结：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念奎屯王新敞新疆随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ+b(其中a、b是常数)也是随机变量奎屯王新敞新疆§2.1.2离散型随机变量的分布列1.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列奎屯王新敞新疆也可iipxp)(，i1,2，……n表示ξ的分布列2.分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．（3）对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和奎屯王新敞新疆即)()()(1kkkxPxPxP奎屯王新敞新疆3.特殊的分布列（主要根据概率的计算方式不同来分类）（1）两点分布列在一次实验中，离散型随机变量的可能取值为：0，1随机变量X的分布列是ξ01P1pp像上面这样的分布列称为两点分布列．称X服从两点分布(two一pointdistribution)，而称p=P(X=1）为成功概率．（两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（Bernoulli)试验，所以还称这种分布为伯努利分布．）（2）超几何分布列：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k｝发生的概率为(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC,其中min{,}mMn，且,,,,nNMNnMNN．称分布列X01…mP0nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布（hypergeometriCdistribution).§2．2．1条件概率1.定义：设A和B为两个事件，P(A)0，称()(|)()PABPBAPA=()()nABnA为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率（conditionalprobability).(|)PBA读作A发生的条件下B发生的概率．2.条件概率的性质（1）非负性：对任意的Af.0(|)1PBA（2）如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)PBCAPBAPCA§2．2．2事件的相互独立性1．相互独立事件的定义设A,B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立（mutuallyindependent).事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件奎屯王新敞新疆（若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立奎屯王新敞新疆）2．相互独立事件同时发生的概率：()()()PABPAPB§2．2．3独立重复实验与二项分布1奎屯王新敞新疆独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnPPCkxP)1()(3.离散型随机变量的二项分布:在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．（由于knkknqpC恰好是二项展开式011100)(qpCqpCqpCqpCpqnnnknkknnnnnn中的各项的值）称这样的随机变量ξ服从二项分布记作ξ～B(n，p)§2．3．1离散型随机变量的均值1.均值或数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称E11px22px…nnpx…为ξ的均值或数学期望，简称期望．（均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值奎屯王新敞新疆）2.均值或期望的一个性质:（1）baEbaE)(（2）若ξ～B(n，p)，则Enp．§2．3．2离散型随机变量的方差1.方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,D＝121)(pEx＋222)(pEx＋…＋nnpEx2)(＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．2.标准差:D的算术平方根D叫做随机变量ξ的标准差，记作．（随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛）3.方差的性质：（1）DabaD2)(；（2）若ξ服从两点分布，则Dp(1-p)；（3）若ξ～B(n，p)，则Dnp(1-p)奎屯王新敞新疆§2．4正态分布1.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a（它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积）2.正态曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2xxex式中的实数、)0(是参数，,()x的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．3.正态分布一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足,()()baPaXBxdx,则称X的分布为正态分布（normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～),(2N.（参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．）4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交奎屯王新敞新疆（2）曲线关于直线x=μ对称奎屯王新敞新疆（3）当x=μ时，曲线位于最高点奎屯王新敞新疆（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）奎屯王新敞新疆并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近奎屯王新敞新疆（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定奎屯王新敞新疆σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：