第二章章末检测(A)

第1页共6页第二章章末检测（A）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．在空间中，下列说法中不正确的是()A．两组对边相等的四边形是平行四边形B．两组对边平行的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊥α，n⊥α，则n⊥mC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β8．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面直线D．相交成60°角10．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为()A．12512πB．1259πC．1256πD．1253π第2页共6页11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D112．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________．14．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．其中正确命题的序号是________．17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．第3页共6页19．(12分)如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求证：BC′⊥平面AC′D；(2)求点A到平面BC′D的距离．22．(12分)如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝22，∠BAD＝∠CDA＝45°．(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD⊥平面ABF；(3)求二面角B－EF－A的正切值．第4页共6页1．B[(如图)，∵P∈HG，HG⊂面ACD，∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，面BAC∩面ACD＝AC；∴P∈AC，选B．]2．C[若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．]3．D[当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．]4．A5．D[由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．]6．B7．C[A中还有可能n⊂α；B中n∥m；D中还有可能m∥β或m⊂β或相交不垂直；C中，由于m∥β，设过m的平面γ与β交于b，则m∥b，又m⊥α，则b⊥α，又b⊂β，则α⊥β，所以C正确．]8．A[∵四边形SG1G2G3是正方形，∴SG1⊥G1E，EG1⊥G2F，FG3⊥SG3．当正方形折成四面体之后，上述三个垂直关系仍保持不变，EG，GF成为四面体的面EGF的相邻两条边，因此，在四面体S－EFG中侧棱SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG．]9．D[恢复成正方体(如图)，易知△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．选D．]10．C[球心O为AC中点，半径为R＝12AC＝52，V＝43πR3＝1256π．选C．]11．B[证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．]12．A[连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′C＝AC＝2a，B′D＝DC＝a，所以∠B′DC＝90°．]13．9解析由面面平行的性质得AC∥BD，ASBS＝CSSD，解得SD＝9．14．a6解析(如图)由题意知：PA⊥DE，又PE⊥DE，所以DE⊥面PAE，∴DE⊥AE．易证△ABE∽△ECD．设BE＝x，则ABCE＝BECD，即3a－x＝x3．∴x2－ax＋9＝0，由Δ0，解得a6．15．B1D1⊥A1C1(答案不唯一)解析由直四棱柱可知CC1⊥面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1，第5页共6页还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形，正方形等条件．16．④解析①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．17．解直线MN∥平面A1BC1，证明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1．∴MN⊄平面A1BC1．如图，取A1C1的中点O1，连接NO1、BO1．∵NO1綊12D1C1，MB綊12D1C1，∴NO1綊MB．∴四边形NO1BM为平行四边形．∴MN∥BO1．又∵BO1⊂平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1．18．证明(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴EF∥面ACD．(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD．∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC．∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD．19．证明(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC．∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF．∴AF⊥SC．(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD．∴DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．20．(1)证明连接OE，如图所示．∵O、E分别为AC、PC中点，∴OE∥PA．∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE．∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．又∵BD⊂面BDE，∴面PAC⊥面BDE．(2)解取OC中点F，连接EF．∵E为PC中点，第6页共6页∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°．在Rt△OEF中，OF＝12OC＝14AC＝24a，∴EF＝OF·tan30°＝612a，∴OP＝2EF＝66a．∴VP－ABCD＝13×a2×66a＝618a3．21．(1)证明∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．(2)解如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．∴AE⊥平面BC′D．故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．∵AD⊥AB，DA⊥BC′，∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．在Rt△AC′B中，AC′＝AB2－BC′2＝32．在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝33．在Rt△C′AD中，由面积关系，得AE＝AC′·ADC′D＝32×333＝6．∴点A到平面BC′D的距离是6．22．(1)解因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝22，CE＝CD2＋ED2＝3，所以cos∠CED＝EDCE＝223．所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为223．(2)证明如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．(3)解由(2)及已知，可得AG＝2，即G为AD的中点．取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．因为BC∥AD，所以BC∥EF．过点N作NM⊥EF，交BC于点M，则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，从而BC⊥GM．由已知，可得GM＝22．由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．在Rt△NGM中，tan∠GNM＝GMNG＝14．所以二面角B－EF－A的正切值为14．