第二章经典力学基础

1第二章经典动力学基础§2-1约束2-1-1完整约束假定系统的位形由n个广义坐标nqqq,,,21规定，并存在如下的k个独立．．的约束方程0),,,,(21tqqqfnj（j=1,2,…，k）（2-1）可以用这种方式表示的约束，就叫做完整约束，相应的系统就叫做完整系统。式（2-1）表示的约束方程，如显含时间t时叫做非定常．．．约束（或叫非平稳．．．定约束）；如不显含时间t时叫做定常．．约束（或叫平稳．．约束）。2-1-2非完整约束现在来考察受m个约束的系统，这些约束有如下的不可积的．．．微分表达式nijtiijdtAdqA10（j=1,2,…，m）（2-2）一般来说，式中的jiA及jtA都是诸q和t的函数，这种约束叫做非完整约束。由于式（2-2）的不可积．．．性，因而找不到如式（2-1）所表达的函数，故也无法利用这些函数以消去某些变量而找到一组独立的广义坐标。因而，要描述非完整系统．．．．．，需要的坐标数．．．总是大于系统的自由度数．．．．．．．．．．．。§2-2达朗贝（D′Alembert）原理再来考察具有N个质点的系统，对于每个质点写出牛顿第二定律iiirmRF（2-3a）或0iiirmRF（2-3b）式中iF和iR分别为作用在第i个质点上的主动力．．．和约束力．．．；iirm具有力的量纲，叫做作用于第i个质点上的惯性力；其中im是常质量；而ir是相对于惯性参考系的加速度矢量。与惯性力不同，习惯上把iF和iR叫做真实力．．．或实际力．．．。因此，式（2-3b）表示作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之矢量和等于零．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。这一结果，把一个动力学问题化成一个静力学问题，也就是通常所说的动静法。§2-3广义力设若给定作用于具有N个质点的系统上的一组力NFFF321,,,，则这些力的虚功为NjjjxFW31（2-4）2现在假定3N个通常的直角坐标Nxxx321,,,，经式),,,,(21tqqqxxnii的变换，使其与n个广义坐标nqqq,,,21相联系，则有niiijjqqxx1（j=1,2,…，3N）（2-5）一般说来，上式中的ijqx为诸q和t的函数。NjiijnijNjiniijjqqxFqqxFW311311niniiiiNjijjqQqqxF1131（2-6）式中NjijjiqxFQ31（2-7）因此，iQ和iq分别叫作相应于广义坐标iq的广义力．．．和广义虚位移．．．．．。广义力的量纲取决于广义坐标的量纲，但是不管在什么情况下．．．．．．．．，乘积iiqQ必须是功或能的量纲，换言之，iQ与iq在能量的意义上共轭，这一点必须牢牢记住。在表述虚功原理时，广义力的概念是非常有用的。假定所考虑的是无初速的完整系统，它受有固定的无功约束。如果系统的位形是用独立的广义坐标来表示，则系统处于静平衡的充要条件是主动力产生的全部广义力Q都等于零。§2-4拉格朗日（Lagrange）方程2-4-1功与动能考察一个具有N个质点的系统，各质点相对于惯性参考系的直角坐标为Nxxx321,,,。系统的动能T可表成NkkkxmT31221（2-8）现用广义坐标nqqq,,,21来表示功能。设诸x与诸q之间有如下的变换式：);,,,(21tqqqxxnkk)3,,3,2,1((Nk（2-9）此外假定这些函数对于q和t是二次可微的。于是有nikiikktxqqxx1（2-10）上式中kx对于诸q是线性的，而ikqx和txk都是诸q和t的函数。将式（2-10）代入式（2-8），则有012),,(TTTtqqT（2-11）式中3ninjjiijqqmT11221（2-12a,b）niiiqaT11（2-13）NkkktxmT312021（2-14）其中Nkjkikkjiijqxqxmmm31；txqxmakNkikki31从式（2-12a，b）、（2-13）和式（2-14）可看出2T是诸q的齐次二次函数，1T是诸q的齐次一次函数，而0T则是诸q和t的函数。需要指出，系数ijm和ia也都是诸q和t的函数。2-4-2拉格朗日方程现在假设系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q来描述。如果诸q都是独立的，则有iiiQqTqTdtd（ni,,2,1）（2-15）式（2-15）就叫做拉格朗日方程。上面我们推导了位形由一组独立广义坐标给定的完整系统的拉格朗日方程式（2-15）。现在再假定所有的广义力都可由位能函数);,,(1tqqVn导出，即iiqVQ（2-16）将式（2-16）代入式（2-15），则可得：0iiiqVqTqTdtd（ni,,2,1）（2-17）再定义一个函数),(),,(),,(tqVtqqTtqqL（2-18）叫做拉格朗日函数（也叫做动势），则式（2-17）又可写成：0iiqLqLdtd（ni,,2,1）（2-19）式（2-19）就是完整系统拉格朗日方程的标准形式。如果广义力中有一部分可由位能函数导出，而另一部分不能由位能函数导出，即*iiiQqVQ（ni,,2,1）（2-20）则式（2-15）及式（2-18）可得：*iiiQqLqLdtd（ni,,2,1）（2-79）式中*iQ是不能由位能函数导出的广义力，例如摩擦力就是一个典型的例子。2-4-3示例分析4例2－1：两质点1m及2m由无质量杆悬挂而构成双摆，如图2-1所示。假定全部运动发生在铅直平面（yx,0）内，试求运动微分方程。再假设运动为微小运动，试将这些方程线性化。图2-1双摆几何约束条件：0)()(022212212212121lyyxxlyx（a）四个直角坐标，二个约束条件，故体系只有二个自由度。现取1及2作为二个独立广义坐标。111sinlx，111cosly，22112sinsinllx，22112coscoslly，1111coslx，1111sinly，2221112coscosllx，2221112sinsinlly，21211222222121121)(21)(21lmyxmyxmT])cos(2[21211221222221212llllm，)cos1()cos1()(2221121glmglmmV把1看成1q，2看成2q，并将T及V的表达式代入拉格朗日方程，则可得：0sin)sin()()cos(0sin)()sin()()cos()(22212211212222212121211211212221212221212121glmllmlmllmglmmllmllmlmm（b）方程（b）为非线性，不易求解。现在就微小运动的情况把方程（b）线性化，即假定2、1以及它们对时间的导数都远小于1。因此可近似地取1)cos(12，1212)sin(方程（b）此时变成00)()(222222212121121221212121glmlmllmglmmllmlmm（c）这里已略去诸微量的高次项。式（c）写成矩阵形式为：5000)()(2122121212222122122121glmglmmlmllmllmlmm（d）对应于上式的惯性矩阵为[m]，其元素为212111)(lmmm，22222lmm，2122112llmmm，动能T的正定性条件为：011m，022m，022211211mmmm，即0222121llmm可见T的正定条件是满足的，因此T是正定的，方程（c）是动耦合、静不耦合。例2－2：图2-2表示两自由度体系，弹簧k为线性弹簧，小质量m通过一根无质量刚杆（长度为l）可绕大质块M的中心摆动，F为作用在m上的力，试推导这个系统的方程。图2－2惯性摆求解步骤如下：把x和作为二个广义坐标，m的直角坐标为：sinlxxm，coslymm的直角坐标系中的速度分量为：coslxxm，sinlym)cos1(2121cos)(212222mglkxVmlxmlxmMT（a）现在再来求相应于x和的广义为X和。利用虚功条件（在两个坐标系中主动力所作的虚功应相等）即可求得：cos)cos(FlxFlxFxFWmxX由上式可知相应于广义坐标x的广义为FX，相应于广义坐标的广义为cosFl。在式（a）中将1qx，2q，则相应的FXQ11，cos2FlQ（b）将式（a）和（b）代入拉格朗日方程，可得cossinsincos)sincos()(22FlmglxmlxmlmlFkxmlxmM（c）假设运动为微小运动，如例1，式（c）可简化为FlmglmlxmlFkxmlxmM2)(（d）6或写成矩阵形式：FlFxmglkxmlmlmlmM002（e）由式（e）可看出，体系的动能T是正定的。式（e）也是动耦合、静不耦合。§2-5哈密尔顿原理在上面各节中，运动方程是以微分形式来表示。这种方法着重考察系统随时间而演变的情况。另一方面，可以用变分原理作为描述动力学系统的依据。这种方法是从整体上来观察系统的运动，并且要求在位形空间中找出一条路径，使某一积分具有驻值。在经典动力学中一个十分重要的变分原理就是哈密尔顿原理，这个原理首次发表于1934年。设有一个由N个质点构成的系统，该系统相对于惯性参考系的位形由矢量Nrrr,,,21给出。应用拉格朗日形式的达朗贝原理，有NiiiiirrmF10)(（2-22）式中iF是作用在第i个质点上的主动力。现假定诸虚位移r是可逆的并与瞬时约束相一致，而这些约束都看成是无功约束。现对系统的动能写出其变分的表达式NiiiiNiirrmrrmT1121（2-23）但iNiNiiiiiNiiiirrmrrmrrmdtd111（2-24）式（2-24）中的第二项是由iiirdtrdrdtd)(而得到的。由式（2-22）、（2-23）及（2-24）可得NiiiiNiiirrmdtdrFT11（2-25）现将上式在积分限0t和1t之间对时间进行积分，并用NiiirFW1代表主动力的虚功，则有10101)(ttNiiiittrrmdtWT（2-26）另外，假定在时刻0t和1t时系统的位形已被规定，即变分ir在时刻0t和1t上都是零。于是有0)(10ttdtWT（2-27）显然，上式中的T和W的值是与坐标无关