第二章高斯噪声背景下谐波恢复数学模型

第二章高斯噪声背景下谐波恢复数学模型2.1高斯过程高斯过程又称正态随机过程,它是一种普遍存在和重要的随机过程.所谓高斯过程)(t,即指它的任意n维概率密度函数由下式表示的过程,即njnkkkkjjjjknnnnaxaxBBBttxxxf112/1212/12121exp)2(1),;,,,(式中;)(;)(22kkkkkatEtEa|B|---归一化协方差矩阵的行列式,即11121221112nnnnbbbbbbBjkB---行列式|B|中元素jkb的代数余因子;jkb---归一化协方差函数:kjkkjjjkatatEb]})(][)({[由上式可以看出,正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望,方差和协方差决定.一维高斯正态分布的概率密度函数可写为:222)(exp21)(axxf式中,a及是两个常量(均值和方差).高斯噪声一般分为白噪声和有色噪声。功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，被称之为白噪声，即2)(0nP白噪声的自相关函数为)(2)(0nR显见，白噪声的自相关函数仅在0时才不为零；这说明，白噪声只有在零点才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。有色噪声与白噪声不同，它的功率谱在整个频段上不是均匀分布的。2．2谐波恢复的数学模型高斯噪声背景下的谐波恢复，主要是利用特征子空间分析的方法，对观测值进行处理从而估计出原始信号的频率等参量特征，即完成了在噪声背景下对信号的恢复。我们首先对特征子空间进行分析。从几何意义上说协方差几何空间=信号子空间+噪声子空间我们所要做的就是从大的空间抽取低秩子空间，对信号进行分解处理。下面将要介绍的Pisarenko,MUSIC,Prony,ESPRIT等方法其核心思想都是由此而来的。设观测信号模型：y(n)=x(n)+w(n)pinwjiiienx1)()(其中，i为信号幅度iw为谐波信号频率i为相位在,均匀分布的参量p为谐波个数w(n)为零均值方差为2的高斯白噪声构造mm协方差矩阵)0()()1()2()0()1()1()1()0(yyyyyyyyyRMRMRMRRRMRRRR设R=S+W：S表示信号协方差矩阵，W表示噪声协方差矩阵。HiipiissS21其中：))1(exp()exp(1iiiMjjs222200IW下面我们对协方差矩阵R进行分析：R=S+WHiipiissS21首先我们来说明R为什么等于S+W.y(n)的自相关函数)()exp()()(])(exp[)()][exp(])(exp[)()())(exp()exp()())(exp()()exp()()()(221211*211**11*11**mmjmilmjjnmEmjjnmnwnwEmnjnjEmnwmnjnnjEmnynyEmripiipllillpiiilpllillpiipllllpiiiipllllpiiiiy22212212122001))2(exp())1(exp())1(exp(1)exp()2exp()exp(1)exp())1(exp()exp(1))1(exp()exp(1))1(exp()exp(1iiiiiiiiipiipiiiiiipiHiiiMjMjMjjjjMjMjjIMjjMjjIssWS对应矩阵各项可知R=S+W.现在对矩阵R进行分析：(1)设iiv,分别是矩阵S的特征值和特征向量，则iivSvi=1~MHiipiivvS1讨论：因为Mp，信号阵的秩必为p。所以S阵有p个非零特征值（i=1~p）,M-p个零特征值（i=p+1~M）。(2)W=2I由于MiHiivvI1所以MiHiivvW12piMpiHiiHiiipiMiHiiHiiivvvvvvvvR1122112)(讨论：（1）R阵与S阵具有相同的特征向量iv，且jijivvji01（2）pivii~1),(是信号特征对Mpivii~1),(是噪声特征对分别记：],,[],[11MppsvvGvvV由信号向量张成的子空间叫做信号子空间，而有噪声向量张成的子空间叫做噪声子空间。（3）矩阵R的特征值Mpipiii~1~122由以上结论我们可以看出，信号向量和噪声子空间中的所有向量（包括它们的线性组合）是正交的。即MpkkkHivs10)(由于此结论十分重要我们在此进行证明。222212111111200],,,[0pppipHiiippipiHiiiHiiiBsssEvvvSvssvvS)exp()exp(1iiijpjspiHiiiHpHHppHsssssssEBES122122221100],,[0)()(00111111pHHpHpHHppHpvEBvEvEBEvvEBESv01pHvEB是正定的展开上式即有0s1Hipv证毕；利用信号向量和噪声空间的正交性进行信号恢复的方法称之为噪声子空间方法。第三章算法概述与分析定义观测信号的空间协方差矩阵为R=E[y(n)yH(n)](3.1)设噪声方差为2，由假设得R=E{[As(n)+w(n)][As(n)+w(n)]H}=E{[As(n)+w(n)][[As(n)]H+wH(n)]}=E{[As(n)+w(n)][sH(n)AH+wH(n)]}=E[As(n)sH(n)AH+w(n)sH(n)AH+As(n)wH(n)+w(n)wH(n)]=E[As(n)sH(n)AH]+E[w(n)sH(n)AH]+E[As(n)wH(n)]+E[w(n)wH(n)]=ASAH+2IM(3.2)其中，S=E[s(n)sH(n)]，IM为单位阵。注意到(3.1)式表达的是观测信号的“统计平均”。我们认为通信中的随机过程是平稳随机过程，而平稳随机过程具有各态历经性，所以在这里，我们可以用观测信号的“时间平均”来代替“统计平均”，即)()()()()()()()()()()()()()()()()()()]()([212221212111nynynynynynynynynynynynynynynynynynyEnynyERMMMMMMH)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([212221212111nynyEnynyEnynyEnynyEnynyEnynyEnynyEnynyEnynyEMMMMMM)0()0()0()0()0()0()0()0()0(212222111211MMMMMMRRRRRRRRRR中各元素的估计为：NnHjiijnynyNR1)()(1)0(故可得R的估计为NnHnnN1^)()(1yRy(3.3)3.1Pisarenko谐波分解法在Pisarenko谐波分解法中，考虑的是由p个实正弦组成的确定性过程)2sin()(1iipiinfAnx(3.1.1)我们假定，初始相位i是在),(均匀分布的独立随机变量，它在一次实现中为常量。先来推导过程{x(n)}满足的差分方程。为此，先来考虑单个正弦波的情况，即)2sin()(fnnx.将三角恒等式])1(2sin[)2cos(2])2(2sin[)2sin(nffnffn中的正弦函数换乘x(n)后，得到二阶差分方程式0)2()1()2cos(2)(nxnxfnx上式两边去z变换，得0)(])2cos(21[21zXzzf这样，我们就得到特征多项式0)2cos(2121zzf它有一对共轭负根即fjefjfz2)2sin()2cos(共轭根的模为1，即1||||21zz，由它们可决定正弦频率2/)]Re(/)arctan[Im(iiizzf通常我们取正的频率。显然，如果p个实正弦波没有重复频率的话，则着p个频率也应由特征多项式0))((2201*kppkkpiiizazzzz或0220kppkkza(3.1.2)的根决定。易知，1||iz，且系数ka是对称的，即)0(2pkaakpk(3.1.3)与式(3.1.2)对应的差分方程为0)()(21inxanxpii(3.1.4)进一步的，我们来考虑白噪声中的正弦波过程：y(n)=x(n)+w(n)(3.1.5)其中{w(n)}是一零均值、方差为2w的高斯白噪声，即{w(n)}~WN(0,2w)。将式(3.1.5)代入式(3.1.4)，立即可得)()()()(2121inwanwinyanypiipii（3.1.6）这表明白噪声中的正弦波过程{y(n)}是一个特殊的ARMA(2p,2p)过程，其AR参数与MA参数相同。为了推导AR参数满足的方程，令TTpTpnwnwnwwaaapnynynyy)]2(,),1(),([],,,1[)]2(,),1(),([21(3.1.7)于是式(3.1.6)可以写成一下矩阵形式：awayTT(3.1.8)用向量y左乘式(3.1.8)两边，并取数学期望得到aywEayyETT}{}{(3.1.9)若)}()({)(lnynyElRy，则显知，IwwEwwxEywERRpRpRpRRRpRRRyyEwTTTyyyyyyyyyyT2}{}){(}{)0()12()2()12()0()1()2()1()0(}{将上述关系代入式(3.1.9),得特征方程aaRwy2(3.1.10)式(3.1.10)表明，2w是自相关矩阵yR的特征值，而a是对应特征值2w的特征向量。式(3.1.10)组成了由Pisarenko发展的谐波分解方法的基础。这样一来，谐波恢复问题就转化成了自相关矩阵yR的特征分解。归纳起来，利用Pisarenko分解法确定阶数p和正弦波频率f的步骤如下。(1)计算矩阵)0()12()2()12()0()1()2()1()0(yyyyyyyyyRpRpRpRRRpRRRR(m2p)的特征分解。（2）求矩阵R最小特征值，即为0，并用表示0的多重度。然后将R将结为m+1-,即取前m+1-行和列组成新矩阵R1,重复这一步直至从某一阶降至下一阶，最小特征值不变。这样，即可定出p，与最小特征值对应的特征向量各分量用paaa210,,,表示。（3）求多项式的根，有02210ppzazaa（4）将上式的根记为**22*11,