第二节洛必达法则

第二节洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限.在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.内容分布图示00★例1-2★例3★例4★例5★例6-7综合应用★例8★例9★例10)0(★例11)(★例12★例13★例14)0(0★例15★例16)1(★例17★例18★例19)(0★例20★例21★内容小结★课堂练习★习题3-2★返回内容要点：一、未定式的基本类型：00型与型；.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx二、未定式的其它类型：0型，型，00,1,0型（1）对于0型，可将乘积化为除的形式，即化为00或型的未定式来计算.（2）对于型，可利用通分化为00型的未定式来计算.（3）对于00,1,0型，可先化以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为0的形式，再化为00或型的未定式来计算.例题选讲:00型例1（讲义例1）求)0(sinlim0kxkxx例2（讲义例2）求123lim2331xxxxxx例3（讲义例3）求.sin2lim0xxxeexxx例4（讲义例4）求xxx1arctan2lim.型例5（讲义例5）求.lncotlnlim0xxx例6（讲义例6）求)0(lnlimnxxnx.例7（讲义例7）求xnxexlim(n为正整数,0)注:对数函数xln、幂函数nx、指数函数)0(xe均为当x时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,幂函数增大的速度远比对数函数快，而指数函数增大的速度又远比幂函数快.洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例8求.tantanlim20xxxxx例9（讲义例8）求.)21ln()cos1(3sin3lim0xxxxx例10（讲义例9）求xxxxsin1sinlim20.0型，型，00,1,0型例11（讲义例10）求.lim2xxex(0型)例12（讲义例11）求)tan(seclim2xxx.(型)例13求)(.1sin1lim0xxx例14求)(].)2[(lim/1xexxx例15求.lim0xxx)0(0例16（讲义例12）求xxxtan0lim.(00型)例17求)1(.lim111xxx例18（讲义例13）求.)(coslim210xxx例19求.)(coslim0xxx)1(例20（讲义例14）求xxxln10)(cotlim.(0型)例21求.)5(lim/13xxxxe)(0课堂练习1.设)(xf有一阶导数,,1)0()0(ff求.)(ln1)(sinlim0xfxfx2.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf的极限不存在且不为,是否)()(xgxf的极限也一定不存在?举例说明.洛必达（L’Hospital，1661~1704）简介：洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》。这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划。他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》。此书在他逝世之后16年才出版。洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往。从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。