第五章第三节等比数列及其前n项和

一、选择题1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.12解析：设等比中项为x，则x2＝(2＋1)(2－1)＝1，即x＝±1.答案：C2．(2011·辽宁高考)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16解析：由anan＋1＝16n，得an＋1an＋2＝16n＋1，两式相除得，an＋1an＋2anan＋1＝16n＋116n＝16，∴q2＝16，∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.答案：B3．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝anan＋2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a2n＋1＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…答案：A4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16解析：设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.答案：B5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S6＝()A．63B．64C．31D．32解析：令等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2，又a1＝1,4a1,2a2，a3成等差数列，则4q＝4＋q2，得q＝2.∴S6＝1－261－2＝26－1＝63.答案：A二、填空题6．已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.答案：167．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝127，则n＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝2n－1，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.所以2n－1＝127，n＝7.答案：7三、解答题8．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝1n＝1，2n－2n≥2.(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋24n－13＝22n＋1＋13.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．解：(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．(2)法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)，两式相减得2an＋1－2an＝an－an－1，∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝12，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝34.∴c2＝34－12＝14，c2＝12c1.∴数列{cn}是首项为12，公比为12的等比数列．∴cn＝12·12n－1＝12n.法二：由(1)bn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝－12n＋1.∴cn＝－12n＋1－－12n－1＋1＝12n－1－12n＝12n－11－12＝12n(n≥2)．又c1＝a1＝12也适合上式，∴cn＝12n.10．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1.当n≥2时，有2Sn＝an＋1－a1，2Sn－1＝an－a1.两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝a11－3n1－3＝12a1·3n－12a1，bn＝1－Sn＝1＋12a1－12a1·3n.要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋12a1＝0，即a1＝－2.所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．