第五节度量空间的完备化

第五节度量空间的完备化；第六节压缩映射原理及其应用（2学时）一．教学要求1．了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；2．掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。二．教学重点掌握压缩映射原理及其应用。三．教学过程1．度量空间的完备化我们知道直线上有理数集Q作为R的子空间不是完备的，当在Q中加上“无理数”，它就成为完备的度量空间R，并且Q在R中稠密。下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量空间的稠密子空间呢？首先介绍几个概念：定义：设)~,~(),,(dXdX是两个度量空间，如果存在X到X~上的保距映射),(),(~:yxdTyTxdT，则称),(dX和)~,~(dX等距同构，此时T成为X到X~上的等距同构映射。在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。定理（度量空间的完备化定理）设),(dXX是度量空间，那么一定存在一完备度量空间)~,~(~dXX，使X与X~的某个稠密子空间W等距同构，并且X~在等距同构意义下是唯一的，即：若)ˆ,ˆ(dX也是一完备的度量空间，且X与Xˆ的某个稠密子空间等距同构，则)~,~(dX与)ˆ,ˆ(dX等距同构。如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为：定理：设),(dX是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间)~,~(~dXX，使得X为X~的稠密子空间。（事实上，做X到自身的恒等映射，dd~即为一等距同构）例：证明l与]1,0(C的一个子空间等距同构。证明：l是有界数列的全体，令ln,...),...,(1，]1,0(C是定义在]1,0(上连续函数全体对于l,....)(,....),(11，有：iiidsup),(对于]1,0()(),(Ctytx，有：)()(sup),(~]1,0(tytxyxdt取子空间：)(tx如下：nnx)1(；其余为折线（线性函数）。则]1,0()(Ctx。做映射：)(,....)(1txf则有：),(sup)()(sup),(~]1,0(dtytxyxdiiit则得证。第六节压缩映射原理及其应用定义：设TdXX),,(是X到X中的映射，如果存在一个数10,，使得对所有的Xyx,，成立：),(),(yxdTyTxd（1）则称T是压缩映射。压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。定理（压缩映射定理）设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（即：方程xTx有且只有一个解）。例如：定义在)1,0(]1,0[f之间的连续压缩映射，如图：101证明：设0x是X中任意一点。令,...,....,,0021201xTxxTTxxTxxnn。我们证明点列}{nx是X中的柯西点列。事实上，),(......),(),(),(),(0121111xxdTxTxdxxdTxTxdxxdmmmmmmmmm（2）由三点不等式，当mn时，),(11),()...(),(...),(),(),(1010111211xxdxxdxxdxxdxxdxxdmnmnmmnnmmmmnm因为10，所以11mn，于是得到：),(1),(10xxdxxdmnm（3）所以当nm,时，0),(nmxxd。即}{nx为柯西点列。由X的完备性，则存在Xx，使xxm，又由三点式和条件（1），有：),(),(),(),(),(1xxdxxdTxxdxxdTxxdmmmm则当m时，上式趋于0，所以0),(Txxd，即Txx。下证唯一性。如果有Xx~，使xxT~~，则由条件（1），有：)~,()~,()~,(xxdxTTxdxxd因为1，所以只有0)~,(xxd。下面介绍定理的应用：定理：设函数),(yxf在带状域：ybxa,中处处连续，且处处有关于y的偏导数),(yxfy。如果还存在常数m和M，满足MmMyxfmy,),(0则方程0),(yxf在区间],[ba上必有唯一的连续函数)(xy作为解：],[,0))(,(baxxxf证明：见书，略。定理：设),(xtf是矩形：},),{(00bxxattxtD上的二元连续函数，设DxtMxtf),(,),(，又),(xtf在D上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的Dvtxt),(),,(，有vxKvtfxtf),(),(，那么方程),(xtfdtdx在区间],[00ttJ上有唯一的满足初始条件00)(xtx的连续函数解，其中}1,,min{KMba。证明：略。例：设X为完备度量空间，A是X到X中映射，记),(),(supxxdxAxAdnnxxn若1nn，则映射A有唯一不动点。证明：因为n，所以存在n，使1n。所以),(),(yxdyAxAdnnn由压缩映射原理，存在Xx0，使00xxAn，且0x是唯一的。又)()(000AxAAxxAAnn由唯一性知，00xAx，且是唯一的。